Bài 4 trang 79 SGK Đại số 10

Đề bài

 Chứng minh rằng: 

\({x^3} + {\rm{ }}{y^3} \ge {\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}\), \(∀x ≥ 0, ∀y ≥ 0\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \((x - y)^2\ge 0\Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}2xy{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}xy{\rm{ }} \ge xy\)

Do \(x ≥ 0, y ≥ 0\) \(\Rightarrow x + y ≥ 0\)

Ta có

\(\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)({x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}xy){\rm{ }} \ge \left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)xy\)

\(\Leftrightarrow {x^3} + {\rm{ }}{y^3} \ge {\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
{x^3} + {y^3} \ge {x^2}y + x{y^2}\\
\Leftrightarrow \left( {{x^3} - {x^2}y} \right) - \left( {x{y^2} - {y^3}} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow {x^2}\left( {x - y} \right) - {y^2}\left( {x - y} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2}\left( {x + y} \right) \ge 0\,\left( {dung} \right)
\end{array}\)

(Do \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) và \(x,y \ge 0 \Rightarrow x + y \ge 0\)

Dấu "=" xảy ra khi \({\left( {x - y} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = y\)