Bài 5.27 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số.

a) \(1,\left( {01} \right)\);                     b) \(5,\left( {132} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(1.\left( {01} \right) = 1 + 0.01 + 0.0001 + 0.000001 +  \ldots \)

\( = 1 + 1 \times {10^{ - 2}} + 1 \times {10^{ - 4}} +  \times {10^{ - 6}} +  \ldots \)

\(1 \times {10^{ - 2}} + 1 \times {10^{ - 4}} +  \times {10^{ - 6}} +  \ldots \) đây là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 1 \times {10^{ - 2}},\;q = {10^{ - 2}}\)

Nên \(1.\left( {01} \right) = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - {{10}^{ - 2}}}} = \frac{{100}}{{99}}\)

b) Ta có: \(5.\left( {132} \right) = 5 + 0.132 + 0.000132 + 0.000000132 +  \ldots \)

\( = 5 + 132 \times {10^{ - 3}} + 132 \times {10^{ - 6}} + 132 \times {10^{ - 9}} +  \ldots \)

\(132 \times {10^{ - 3}} + 132 \times {10^{ - 6}} + 132 \times {10^{ - 9}} +  \ldots \) đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

với \({u_1} = 132 \times {10^{ - 3}},\;q = {10^{ - 3}}\)

Nên \(5.\left( {132} \right) = 5 + \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{132 \times {{10}^{ - 3}}}}{{1 - {{10}^{ - 3}}}} = \frac{{1709}}{{333}}\)