Bài 16. Giới hạn của hàm số Toán 11 kết nối tri thức

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 2}}\) a) Tìm tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) b) Cho dãy số \({x_n} = \frac{{2n + 1}}{n}\). Rút gọn \(f\left( {{x_n}} \right)\) và tính giới hạn của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = f\left( {{x_n}} \right)\) c) Với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} \ne 2\) và \({x_n} \to 2\), tính \(f\left( {{x_n}} \right)\) và tìm \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\)

Cho hàm ố \(f\left( x \right) = 1 + \frac{2}{{x - 1}}\) có đồ thị như Hình 5.4.Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số sao cho \({x_n} > 1,\;{x_n} \to \; + \infty \). Tính \(f\left( {{x_n}} \right)\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\) có đồ thị như Hình 5.6. Cho \({x_n} = \frac{1}{n}\), chứng tỏ rằng \(f\left( {{x_n}} \right) \to + \infty \)

Tính các giới hạn sau: a) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 4}}{x}\); b) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \) \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 9} - 3}}{{{x^2}}}\)

Cho hàm số (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thười điểm t = 0). Tính \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to {0^ + }} H\left( t \right)\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to 0} \;H\left( t \right).\)

Tính các giới hạn một bên: a) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\); b) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{4 - x}}\)

Cho hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{\left| {x - 2} \right|}}\) Tìm \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ + }} g\left( x \right)\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} g\left( x \right)\)

Tính các giới hạn sau: a) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) b) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - x} \right)\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\) Tìm \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\)

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho hai hàm số (fleft( x right) = frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}) và g(x) = x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?