Bài 31 trang 19 SGK Toán 9 tập 1

LG a

So sánh \( \sqrt{25 - 16}\) và \(\sqrt {25}  - \sqrt {16}\)

Phương pháp giải:

+) Định lí so sánh hai căn bậc hai số học của hai số không âm:

\( a< b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\).

+) \( \sqrt{ a^2} = a\),  với \( a \ge 0\). 

Lời giải chi tiết:

Ta có:

+) \( \sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 =\sqrt{3^2}= 3.\)  
+) \( \sqrt {25} - \sqrt {16} \)\(= \sqrt{5^2}-\sqrt{4^2}\)\(=5 - 4 = 1 \).

Vì \(3>1 \Leftrightarrow \sqrt {25 - 16}>\sqrt {25} - \sqrt {16} \).

Vậy \(\sqrt {25 - 16}  > \sqrt {25}  - \sqrt {16} \)

LG b

Chứng minh rằng: với \(a > b >0\) thì \(\sqrt a  - \sqrt b  < \sqrt {a - b} \)

Phương pháp giải:

+) Định lí so sánh hai căn bậc hai số học của hai số không âm:

\( a< b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\).

+) \( \sqrt{ a^2} = a\),  với \( a \ge 0\). 

Lời giải chi tiết:

Với \(a > b > 0\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a  > \sqrt b \\a - b > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a  - \sqrt b  > 0\\\sqrt {a - b}  > 0\end{array} \right.\)

Xét \(\sqrt a  - \sqrt b  < \sqrt {a - b} \) , bình phương hai vế ta được \({\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} < {\left( {\sqrt {a - b} } \right)^2} \)\(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt a } \right)^2} - 2.\sqrt a .\sqrt b  + {\left( {\sqrt b } \right)^2} < a - b\)

\( \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab}  + b < a - b \)\(\Leftrightarrow 2b - 2\sqrt {ab}  < 0\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt b \left( {\sqrt b  - \sqrt a } \right) < 0\)  luôn đúng vì  \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt b  > 0\\\sqrt b  - \sqrt a  < 0\,\left( {do\,0 < b < a} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(\sqrt a  - \sqrt b  < \sqrt {a - b} \) với \(a > b > 0.\)