Bài 30 trang 19 SGK Toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

LG a

\( \dfrac{y}{x}.\sqrt{\dfrac{x^{2}}{y^{4}}}\) với \(x > 0,\ y ≠ 0\);

Phương pháp giải:

+) \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\),  với \(a \ge 0,\ b >0\).

+) \(\sqrt{a^2}=|a|\).  

+) \(|a| =a\),  nếu \(a \ge 0\).

     \(|a|=-a\),  nếu \(a <0\).

+) \(a^{m.n}=a^m.a^n\),   với \(m,\ n \in \mathbb{N}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\dfrac{y}{x}.\sqrt{\dfrac{x^{2}}{y^{4}}}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{y^{4}}}\)

\(=\dfrac{y}{x}.\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{(y^2)^2}}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{|x|}{|y^2|}\) 

Vì \(x> 0\) nên \(|x|=x\).

Vì \(y \ne 0\)  nên  \(y^2 > 0 \Rightarrow |y^2|=y^2\).

\(\Rightarrow \dfrac{y}{x}.\dfrac{|x|}{|y^2|} =\dfrac{y}{x}.\dfrac{x}{y^2}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{x}{y.y}=\dfrac{1}{y}\).

Vậy \(\dfrac{y}{x}.\sqrt{\dfrac{x^{2}}{y^{4}}}=\dfrac{1}{y}\).

LG b

2\( y^{2}\).\( \sqrt{\dfrac{x^{4}}{4y^{2}}}\) với \(y < 0\)

Phương pháp giải:

+) \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\),  với \(a \ge 0,\ b >0\).

+) \(\sqrt{a^2}=|a|\).  

+) \(|a| =a\),  nếu \(a \ge 0\).

     \(|a|=-a\),  nếu \(a <0\).

+) \(a^{m.n}=a^m.a^n\),   với \(m,\ n \in \mathbb{N}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(2y^2.\sqrt{\dfrac{x^{4}}{4y^{2}}}=2y^2.\dfrac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{4y^2}}=2y^2.\dfrac{\sqrt{(x^2)^2}}{\sqrt{2^2.y^2}}\)

\(=2y^2.\dfrac{\sqrt{(x^2)^2}}{\sqrt{(2y)^2}}=2y^2.\dfrac{|x^2|}{|2y|}\)

Vì \(x^2 \ge 0 \Rightarrow |x^2|=x^2\).

Vì \(y<0\)  nên  \(2y < 0 \Rightarrow |2y|=-2y\)

\(\Rightarrow 2y^2.\dfrac{|x^2|}{|2y|}=2y^2.\dfrac{x^2}{-2y}=\dfrac{2y^2.x^2}{-2y}\)

\(=\dfrac{x^2.y.2y}{-2y}=-x^2y\).

Vậy \(2y^2.\sqrt{\dfrac{x^{4}}{4y^{2}}}=-x^2y\).

LG c

\(5xy. \sqrt{\dfrac{25x^{2}}{y^{6}}}\) với \(x < 0,\ y > 0\)

Phương pháp giải:

+) \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\),  với \(a \ge 0,\ b >0\).

+) \(\sqrt{a^2}=|a|\).

+) \(|a| =a\),  nếu \(a \ge 0\).

     \(|a|=-a\),  nếu \(a <0\).

+) \(a^{m.n}=a^m.a^n\),   với \(m,\ n \in \mathbb{N}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(5xy.\sqrt{\dfrac{25x^{2}}{y^{6}}}=5xy.\dfrac{\sqrt{25x^2}}{\sqrt{y^6}}=5xy.\dfrac{\sqrt{5^2.x^2}}{\sqrt{(y^3)^2}}\)

\(=5xy.\dfrac{\sqrt{(5x)^2}}{\sqrt{(y^3)^2}}=5xy.\dfrac{|5x|}{|y^3|}\)

Vì \(x<0\) nên \(|5x|=-5x\) 

Vì \(y>0 \Rightarrow y^3 >0 \Rightarrow |y^3|=y^3\).

\( \Rightarrow 5xy.\dfrac{|5x|}{|y^3|}=5xy.\dfrac{-5x}{y^3}=\dfrac{5xy.(-5x)}{y^3}\)

\(=\dfrac{[5.(-5)].(x.x).y}{y^2.y}=\dfrac{-25x^2}{y^2}\)

Vậy \(5xy.\sqrt{\dfrac{25x^{2}}{y^{6}}}=\dfrac{-25x^2}{y^2}\).

LG d

\( 0,2x^{3}y^{3}.\sqrt{\dfrac{16}{x^{4}y^{8}}}\) với \(x ≠ 0,\ y ≠ 0\)

Phương pháp giải:

+) \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\),  với \(a \ge 0,\ b >0\).

+) \(\sqrt{a^2}=|a|\).

+) \(|a| =a\),  nếu \(a \ge 0\).

     \(|a|=-a\),  nếu \(a <0\).

+) \(a^{m.n}=a^m.a^n\),   với \(m,\ n \in \mathbb{N}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(0,2x^{3}y^{3}.\sqrt{\dfrac{16}{x^{4}y^{8}}}=0,2x^3y^3.\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{x^4y^8}}\)

\(=0,2x^3y^3\dfrac{\sqrt{4^2}}{\sqrt{(x^2)^2.(y^4)^2}}\)

\(=0,2x^3y^3.\dfrac{\sqrt{4^2}}{\sqrt{(x^2)^2}.\sqrt{(y^4)^2}}=0,2x^3y^3.\dfrac{4}{|x^2|.|y^4|}\).

Vì \(x \ne 0,\ y \ne 0\)  nên  \( x^2 > 0\)  và \(y^4 > 0\)

\(\Rightarrow |x^2| =x^2\)  và \(|y^4|=y^4\).

\( \Rightarrow 0,2x^3y^3.\dfrac{4}{|x^2|.|y^4|}=0,2x^3y^3.\dfrac{4}{x^2y^4}\)

\(=\dfrac{0,2x^3y^3.4}{x^2y^4}\)

\(=\dfrac{0,8x}{y}.\) 

Vậy \(0,2x^{3}y^{3}.\sqrt{\dfrac{16}{x^{4}y^{8}}}=\dfrac{0,8x}{y}\).