Lý thuyết xác suất và biến cố

A. Tóm tắt kiến thức:

1. Quan niệm chung về xác suất:

Xác suất của biến cố \(A\) là số đo khả năng xảy ra của biến cố \(A\).

2. Định nghĩa cổ điển của xác suất:

Định nghĩa:

Giả sử \(A\) là biến cố liên quan đến phép thử \(T\) và phép thử \(T\) có một số hữu hạn kết quả có thể có, đồng khả năng. Khi đó ta gọi tỉ số \(\frac{n(A)}{n(\Omega )}\) là xác suất của biến cố \(A\),

kí hiệu là \(P(A)\) = \(\frac{n(A)}{n(\Omega )}\).

Trong đó, \(n(A)\) là số phần tử của tập hợp \(A\), cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử \(T\) thuận lợi cho biến cố \(A\); còn \(n(Ω)\) là số phần tử của không gian mẫu \(Ω\), cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử \(T\).

Chú ý:

Để vận dụng được định nghĩa cổ điển của xác suất, phải có hai điều kiện sau đây:

- Số các kết quả có thể có của phép thử là hữu hạn;

- Các kết quả có thể có của phép thử là đồng khả năng.

3. Các tính chất cơ bản của xác suất:

3.1 Định lí:

a) \(P(\phi) = 0; P(Ω) = 1\).

b) \(0 ≤ P(A) ≤ 1\), với mọi biến cố \(A\).

c) Nếu \(A\) và \(B\) xung khắc với nhau, thì ta có

\(P(A ∪ B) = P(A) + P(B)\) (công thức cộng xác suất).

3.2 Hệ quả:

Với mọi biến cố \(A\), ta luôn luôn có: \(P\)(\(\overline{A}\)) = \(1 - P(A)\).

4. Hai biến cố độc lập:

Định nghĩa:

Hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) là độc lập với nhau khi và chỉ khi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia (nói cách khác là không làm ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia).

Định lí:

Nếu \(A, B\) là hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) sao cho \(P(A) > 0\),

\(P(B) > 0\) thì ta có:

a) \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập với nhau khi và chỉ khi:

\(P(A . B) = P(A) . P(B)\).

Chú ý: Kết quả vừa nêu chỉ đúng trong trường hợp khảo sát tính độc lập chỉ của 2 biến cố.

b) Nếu \(A\) và \(B\) độc lập với nhau thì các cặp biến cố sau đây cũng độc lập với nhau:

\(A\) và \(\overline{B}\), \(\overline{A}\) và \(B\), \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\).