Lý thuyết phép thử và biến cố

A. Tóm tắt kiến thức:

I. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu:

1. Phép thử ngẫu nhiên:

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, tuy nhiên có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. Trong "Xác suất" ở trường phổ thông, ta chỉ xét những phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn các kết quả có thể có.

Sau đây, ta sẽ gọi tắt phép thử ngẫu nhiên là phép thử.

2. Không gian mẫu:

Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử \(T\) được gọi là không gian mẫu của phép thử \(T\) và kí hiệu là \(Ω\).

II. Biến cố:

1. Định nghĩa:

Giả sử \(Ω\) là không gian mẫu của phép thử \(T\).

a) Nếu \(A\) là tập con của \(Ω\) thì ta nói \(A\) là biến cố (liên quan đến phép thử \(T\)).

b) Trong kết quả của việc thực hiện phép thử \(T\), nếu có một phần tử của biến cố xảy ra thì ta nói "biến cố \(A\) xảy ra"

2. Chú ý:

2.1  Xét phép thử \(T\):

Giả sử \(A\) là một sự kiên (trong thực tế của phép thử \(T\)) mà việc xảy ra hay không xảy ra của nó phụ thuộc vào kết quả của việc thực hiện phép thử \(T\); giả sử \(C\) là một kết quả có thể có của phép thử \(T\).

Khi phép thử \(T\) được thực hiện, nếu \(C\) xảy ra kéo theo sự kiện \(A\) cũng xảy ra thì ta nói: \(C\) là kết quả có thể có (của phép thử \(T\)) thuận lợi cho \(A\).

Theo định nghĩa ở trên, ta có: Tập hợp tất cả những kết quả có thể có (của phép thử \(T\)) thuận lợi cho sự kiện \(A\) là một biến cố liên quan đến phép thử \(T\) (ta cũng kí hiệu biến cố này là \(A\)).

Khi phép thử \(T\) được thực hiên, sự kiện \(A\) và biến cố \(A\) kể trên là đồng thời cùng xảy ra hoặc đồng thời cũng không xảy ra. Do đó chúng được đồng nhất với nhau, và sự kiện \(A\) cũng được gọi là biến cố (biến cố \(A\)).

2.2 Từ định nghĩa ở trên, ta có: Mỗi một phần tử của biến cố \(A\) là một kết quả có thể có (của phép thử được xét) thuận lợi cho biến cố \(A\).

Như vậy, trong mọi trường hợp ta đều có: Biến cố \(A\) là một kết quả có thể có (của phép thử được xét) thuận lợi cho \(A\).

3. Biến cố không thể và biến cố chắc chắn:

3.1 Định nghĩa:

Giả sử \(Ω\) là không gian mẫu của phép thử \(T\), ta có các định nghĩa sau:

a) Biến cố \(A\) được gọi là biến cố ngẫu nhiên (liên quan đến phép thử \(T\)), nếu như \(A\) khác rỗng và \(A\) là tập con thực sự của \(Ω\).

b) Tập rỗng được gọi là biến cố không thể (liên quan đến phép thử \(T\)) (gọi tắt là biến cố không).

c) Tập \(Ω\) được gọi là biến cố chắc chắn (liên quan đến phép thử \(T\)).

3.2 Chú ý:

a) Biến cố ngẫu nhiên liên quan đến phép thử \(T\) được đồng nhất với sự kiện có thể xảy ra, nhưng cũng có thể không xảy ra, mỗi khi phép thử \(T\) được thực hiện.

b) Biến cố không thể liên quan đến phép thử \(T\) được đồng nhất với với sự kiện nhất định không xảy ra, mỗi khi phép thử \(T\) được thực hiện.

c) Biến cố chắc chắn liên quan đến phép thử \(T\) được đồng nhất với sự kiện nhất định phải xảy ra, mỗi khi phép thử \(T\) được thực hiện.

4. Các quan hệ và các phép toán trên các biến cố (liên quan đến cùng một phép thử)

Giả sử \(Ω\) là không gian mẫu của phép thử \(T\); \(A, B, C\) là các biến cố cùng liên quan đến phép thử \(T\), ta có các định nghĩa và các kết quả sau:

4.1 Hai biến cố đồng nhất:

Định nghĩa:

Hai biến cố \(A\) và \(B\) là đồng nhất với nhau khi và chỉ khi "Tập \(A\) bằng tập \(B\)"

Chú ý: Từ định nghĩa trực tiếp suy ra rằng hai biến cố \(A\) và \(B\) đồng nhất với nhau khi và chỉ khi chúng đồng thời xảy ra hoặc đồng thời cùng không xảy ra, mỗi khi phép thử \(T\) được thực hiện.

Kí hiệu: \(A = B\).

4.2 Hợp và giao của các biến cố:

a) Định nghĩa 1:

Với \(A, B\) là các biến cố cùng liên quan đến phép thử \(T\) thì tập \(A ∪ B\) cũng là một biến cố liên quan đến phép thử \(T\). Biến cố \(A ∪ B\) được gọi là hai biến cố \(A\) và \(B\).

Chú ý:

(\(C = A ∩ B\)) \(⇔\) (\(C\) = "Đồng thời cùng xảy ra cả hai biến cố \(A, B\) ").

Biến cố \(A ∩ B\) còn được kí viết là \(A . B\).

4.3 Các tính chất của phép hợp và phép giao cảu các biến cố:

- \(A ∪ A = A\);                      \(A ∩ A = A\);

- \(A ∪ B = B ∪ A\);                \(A ∩ B = B ∩ A\);

- \((A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)\).

Do có tính chất này, nên ta có thể viết:

\(A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)\)

và gọi đó là hợp của ba biến cố \(A, B, C\).

Ta có: \((D = A ∪ B ∪ C)\)\( ⇔ \) (\(D =\) "Xảy ra ít nhất một trong ba biến cố \(A, B, C\) ").

- \((A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)\).

Do có tính chất này, nên ta có thể viết:

\(A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)\)

và gọi đó là giao  của ba biến cố \(A, B, C\).

Ta có: \((D = A ∩ B ∩ C) ⇔\) (\(D\) = "Đồng thời xảy ra ba biến cố \(A, B, C\)").

- \(A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)\);

- \(A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)\).

- \(A ∪\) Φ\(= A; A ∩ \) Φ = Φ

- \(A ∪ Ω = ; A ∩ Ω = A\).

4.4 Hai biến cố xung khắc với nhau:

Định nghĩa:

Hai biến cố \(A\) và \(B\) là xung khắc với nhau khi và chỉ khi \(A ∩ B\) = Φ.

Chú ý;

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra rằng hai biến cố \(A\) và \(B\) xung khắc với nhau khi và chỉ khi chúng không thể đồng thời cùng xảy ra mỗi khi phép thử \(T\) được thực hiện.

4.5 Biến cố đối:

Định nghĩa:

Nếu \(A\) là biến cố liên quan đến phép thử \(T\) thì tập \(Ω\) \(\setminus\) \(A\) cũng là một biến cố liên quan đến phép thử \(T\) và được gọi là biến cố đối của biến cố \(A\), kí hiệu là \(\overline{A}\) .

Chú ý:

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra:

a) \(\overline{A}\) = "Không xảy ra biến cố \(A\)". Từ đó ta có:

                  (\(\overline{A}\) xảy ra) ⇔ (\(A\) không xảy ra).

b) \(\overline{A}\) là phần bù của \(A\) trong \(Ω\).

c) \(B\) là biến cố đối của biến cố \(A\) thì \(A\) là biến cố đối của biến cố \(B\) (\(A\) và \(B\) là hai biến cố đối nhau). Đồng thời ta có:

( \(A\) và  \(B\) là hai biến cố đối nhau)  ⇔ \(\left\{\begin{matrix} A \cup B = \Omega & & \\ A \cap B=\phi & & \end{matrix}\right.\).