Lý thuyết về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Lý thuyết về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Tóm tắt lý thuyết

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn (\(x\) và \(y\)) có dạng: \(ax + by =c\) (1) trong đó \(a, b, c\), là các số đã cho, với \(ab ≠ 0\).

Nếu có cặp số c sao cho \(a{x_0} + b{y_0} = c\) thì \(({x_0};{y_0})\) được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

2. Giải và biện luận phương trình \(ax + by = c\) (\(ab ≠ 0\))

+ Nếu \(a ≠ 0, b ≠ 0\) phương trình có vô số nghiệm, mỗi cặp số \((x, y)\), trong đó

\(\left\{\begin{matrix} x\in\mathbb R & \\ y=\dfrac{c-ax}{b}& \end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} y\in\mathbb R & \\ x=\dfrac{c-by}{a}& \end{matrix}\right.\) đều là nghiệm của phương trình.

Tập nghiệm của phương trình biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đồ thị của hàm số \(y = \dfrac{-a}{b}x+\dfrac{c}{b}\). Ta cũng gọi đồ thị đó là đường thẳng \(ax + by = c\).

+ Nếu \(a = 0, b ≠ 0\) mỗi cặp số \((x; y)\) trong đó 

\(\left\{ \matrix{
x \text { là số tùy ý }\hfill \cr
y = {c \over b} \hfill \cr} \right.\)

là một nghiệm của phương trình.

Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bằng đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm \(P(0; \dfrac{c}{b})\).

+ Nếu \(a ≠ 0, b = 0\), tập nghiệm của phương trình là các cặp số \((x, y)\) trong đó \(\left\{\begin{matrix} x=\dfrac{c}{a} & \\ y& \end{matrix}\right.\) là số tùy ý.

Đường thẳng \(x = \dfrac{c}{a}\) song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm \(Q(\dfrac{c}{a}; 0)\) biểu diễn tập nghiệm của phương trình.

3. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

là hệ phương trình có dạng: (I) \(\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y=c_{1} (1)& \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}(2)& \end{matrix}\right.\)

trong đó (1) và (2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn.

Một cặp số \(({x_0};{y_0})\) đồng thời là nghiệm của (1) và của (2) gọi là một nghiệm của hệ (I).

Có thể giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế hay phương pháp cộng đại số.

4. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

Để giải ta dùng phương pháp cộng đặc số để đưa về hệ phương trình tương đương có dạng tam giác hoặc dùng phương pháp thế để đưa về việc giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.