Lý thuyết phương trình mũ và phương trình lôgarit

1. Phương trình mũ cơ bản và phương trình lôgarit cơ bản

- Phương trình mũ cơ bản có dạng  a^x =  b, trong đó a,b là hai số đã cho, a dương và khác 1;

- Phương trình lôgarit cơ bản có dạng 

log_ax = b, trong đó a, b là hai số đã cho, a dương và khác 1;

2. Nghiệm của phương trình mũ cơ bản và phương trình lôgarit cơ bản 

- Nếu b ≤ 0 thì a^x =  b vô nghiệm; nếu b> 0 thì a^x =  b ⇔ x = log_ab.

- Với mọi b luôn có log_ax = b ⇔ x = a^b.

3. Các phương pháp giải phương trình mũ và phương trình lôgarit đơn giản

- Phương pháp đưa về cùng cơ số :

ta thường đưa về cùng cơ số bằng cách sử dụng các công thức sau:

∀b > 0, ∀a > 0 (a\(\ne\)1), b = \(a^{log_{a}b}\) ( để đưa về lũy thừa cơ số a)

và ∀a, c, x > 0 (a,c\(\ne\)1), \(log_{c}x = \frac{log_{a}x}{log_{a}c}\) ( để đưa về lôgarit cơ số a).

- Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt một lũy thừa có chứa ẩn ở số mũ hoặc một lôgarit có chứa ẩn trong lôgarit làm ẩn số phụ một cách thích hợp rồi sử dụng các tính chất của lũy thừa, lôgarit để biến đổi phương trình về phương trình đối với ẩn số mới và đưa bài toán về việc giải phương trình mới nhận được.

- Phương pháp mũ hóa hoặc lôgarit hóa: Nếu hai vế phương trình đều phân tích được thành tích các nhân tử dương thì có thể lôgarit hóa hai vế phương trình theo cùng một cơ số (phép lôgarit hóa biến một tích thành một tổng, một thương thành một hiệu). Ta cũng có thể khử lôgarit bằng cách mũ hóa hai vế phương trình theo cùng cơ số trên cơ sở dùng tính chất \(a^{log_{a}b}\) = b.