Câu hỏi 6 trang 83 SGK Giải tích 12

Đề bài

Giải phương trình: \({\log _{{1 \over 2}}}x + {({\log _2}x)^2} = 2\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\log _{\dfrac{1}{2}}}x + {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} = 2\,\left( {DK:x > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _{{2^{ - 1}}}} + {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} = 2\\ \Leftrightarrow  - {\log _2}x + {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} = 2\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} - {\log _2}x - 2 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _2}x\) phương trình trở thành:

\({t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\t = 2\end{array} \right.\)

Với \(t =  - 1\) thì \({\log _2}x =  - 1 \Leftrightarrow x = {2^{ - 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {TM} \right)\)

Với \(t = 2\) thì \({\log _2}x = 2 \Leftrightarrow x = {2^2} = 4\left( {TM} \right)\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {\dfrac{1}{2};4} \right\}\)