Giải mục 4 trang 13, 14, 15, 16 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Hoạt động 5

a) Dựa vào định nghĩa của \(\sin \alpha \)và \(\cos \alpha \) hãy tính \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha \)

b) Sử dụng kết quả của HĐ5a và định nghĩa của \(\tan \alpha \), hãy tính \(1 + {\tan ^2}\alpha \)

Phương pháp giải:

Vẽ hình. Xác định các điểm \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) trên hình.

Sử dụng định lý Pytago để tính

Lời giải chi tiết:

a) Trong Hình 5, M là điểm biểu diễn của góc lượng giác \(\alpha \) trên đường tròn lượng giác. Ta có:

OK = MH = \(\sin \alpha \)

OH = KM = \(\cos \alpha \)

\(\begin{array}{l}O{M^2} = O{H^2} + M{H^2}\\ \Rightarrow 1 = {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha \end{array}\)

b) \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)

Luyện tập 6

Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \), biết \(\cos \alpha  =  - \frac{2}{3}\) và \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức lượng giác cơ bản để tính giá trị lượng giác góc \(\alpha \). Chú ý dấu của giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết:

Vì \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\)nên \(\sin \alpha  > 0\). Mặc khác, từ  \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) suy ra

\(\sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  = \sqrt {1 - \frac{4}{9}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

Do đó    \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}}{{ - \frac{2}{3}}} =  - \frac{{\sqrt 5 }}{2};\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }}\)

Hoạt động 6

Xét hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H1.12a).

a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm M, N đổi với hệ trục Oxy. Từ đó rút ra liên hệ giữa \(\cos ( - \alpha )\) và \(\cos \alpha \); \(\sin ( - \alpha )\)và \(\sin \alpha \)

b) Từ kết quả HĐ6a, rút ra liên hệ giữa: \(\tan ( - \alpha )\) và \(\tan \alpha \); \(\cot ( - \alpha )\) và \(\cot \alpha \)

Phương pháp giải:

Dựa vào hình vẽ để nhận xét

Lời giải chi tiết:

a) Hai điểm M và N đối xứng nhau qua hệ trục Oxy.

Suy ra

\(\cos ( - \alpha )\)=\(\cos \alpha \); \(\sin ( - \alpha )\)= \( - \sin \alpha \)

b) Ta có:

\(\tan ( - \alpha )\) =\( - \tan \alpha \); \(\cot ( - \alpha )\)\( - \cot \alpha \)

Luyện tập 7

Tính:   a) \(\sin ( - {675^ \circ })\)     b) \(\tan \frac{{15\pi }}{4}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sin ( - {675^ \circ }) = \sin ({45^ \circ } - {2.360^ \circ }) = \sin {45^ \circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\(\tan \frac{{15\pi }}{4} = \tan \left( {3\pi  + \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \tan \left( {\pi  + \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \tan \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) = \tan \left( {\pi  - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \tan \left( {\frac{\pi }{4}} \right) =  - 1\)

Vận dụng 2

Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm t được cho bởi công thức:

\(B(t) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi t}}{{12}}\)

Trong đó t là số giờ tính từ lúc nửa đêm và B(t) tính bằng mmHg (milimét thủy ngân). Tìm huyết áp tâm trương của người này vào cá thời điểm sau:

a) 6 giờ sáng               b) 10 giờ 30 phút sáng;          c) 12 giờ trưa              d) 8 giờ tối

Phương pháp giải:

Tính thời gian t

Áp dụng liên hệ giữa các giá trị lượng giác giữa các góc có liên quan đặc biệt.

Lời giải chi tiết:

a) t = 6

\( \Rightarrow B(6) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi 6}}{{12}} = 80 + 7.\sin \frac{\pi }{2} = 87\)

b) t=10,5

\( \Rightarrow B(10,5) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi 10,5}}{{12}} = 80 + 7.\sin \frac{{7\pi }}{8} = 82,67878\)

c) t=12

\( \Rightarrow B(12) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi 12}}{{12}} = 80 + 7.\sin \pi  = 80\)

d) t = 20

\(\begin{array}{l} \Rightarrow B(20) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi 20}}{{12}} = 80 + 7.\sin \frac{{5\pi }}{3} = 80 + 7.\sin \left( {\pi  + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 80 - 7.\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = 80 - 7.\sin \left( {\pi  - \frac{\pi }{3}} \right)\\ = 80 - 7.\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{160 - 7\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)