Bài 76 trang 147 SBT toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có cạnh bên bằng \(3cm.\) Gọi \(D\) là một điểm thuộc đáy \(BC.\) Qua \(D,\) kẻ các đường thẳng song song với các cạnh bên, chúng cắt \(AB\) và \(AC\) theo thứ tự tại \(F\) và \(E.\) Tính tổng \(DE + DF.\)

Lời giải chi tiết

Vì \(DF // AC\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat C\) (hai góc đồng vị)   (1)

Lại có \(∆ABC \) cân tại \(A\).

\( \Rightarrow \widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat B = \widehat {{D_1}}\) do đó \(∆BFD\) cân tại \(F\).

\( \Rightarrow BF = DF\) (tính chất tam giác cân).

Nối \(AD\).

Vì \(DF//AC\) nên \(\widehat {A{\rm{D}}F} = \widehat {D{\rm{AE}}}\) (hai góc so le trong).

Vì \(DE//AB\) nên \(\widehat {FAD} = \widehat {E{\rm{D}}A}\) (hai góc so le trong).

Xét \(∆AFD\) và \( ∆DEA\) có:

\(\widehat {A{\rm{D}}F} = \widehat {D{\rm{AE}}}\) (chứng minh trên)

\(AD\) cạnh chung

\(\widehat {FAD} = \widehat {E{\rm{D}}A}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow  ∆AFD = ∆DEA\) (g.c.g)

\( \Rightarrow  AF  = DE\) (hai cạnh tương ứng).

Vậy \(DE + DF = AF + BF = AB \)\(\,= 3\,(cm)\).