Bài 67 trang 15 SBT toán 9 tập 1

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, chứng minh: 

LG câu a

Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm \(a\),\(b\):

\( \displaystyle \displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)

Dấu "=" xảy ra khi \(a = b\). 

Lời giải chi tiết:

Gọi hình chữ nhật có chiều dài \(a\) và chiều rộng \(b\) (với \(a>b>0\))

Các hình chữ nhật có cùng chu vi thì \(C = 2.(a + b)\) không đổi hay \((a + b)\) không đổi.

Diện tích của hình chữ nhật \(S=a.b\)  

Suy ra: \(\displaystyle{{a + b} \over 2}\) không đổi.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

\( \displaystyle \displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)

\( \displaystyle\begin{array}{l}
\Leftrightarrow ab \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}\\
\Leftrightarrow S \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}
\end{array}\) 

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b.\) Hay hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau nên nó là hình vuông.

Vậy để \( \Leftrightarrow {S_{\max }} = {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}\) thì hình chữ nhật là hình vuông.

Điều này cho thấy trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất. 

LG câu b

Trong các hinh chữ  nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất. 

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm \(a\),\(b\):

\( \displaystyle \displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)

Dấu "=" xảy ra khi \(a = b\). 

Lời giải chi tiết:

Các hình chữ nhật có cùng diện tích \(S=a.b\) thì \(a.b\) không đổi.

Từ bất đẳng thức:

\( \displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)

\( \Leftrightarrow a + b \le 2\sqrt {ab} \)

\( \Leftrightarrow 2.(a + b) \le 4\sqrt {ab} \)

\( \Leftrightarrow C \le 4\sqrt {ab} \)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\) 

Vậy để \({C_{\min }} = 4\sqrt {ab} \)  thì hình chữ nhật là hình vuông.

Điều này cho thấy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất.