Bài 63 trang 15 SBT toán 9 tập 1

Chứng minh:

LG câu a

\( \displaystyle{{\left( {x\sqrt y  + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }} = x - y\)

với \(x > 0\) và \(y > 0\);

Phương pháp giải:

Phần a) áp dụng hằng đẳng thức: 

\((a - b)(a + b) = {a^2} - {b^2}\)

Phần b) áp dụng hằng đẳng thức:

\({a^3} - {b^3} = (a - b)({a^2} + ab + {b^2})\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\( \displaystyle{{\left( {x\sqrt y  + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }}\)\(\displaystyle = {{\left( {\sqrt {{x^2}y}  + \sqrt {x{y^2}} } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }}\)

\( \displaystyle = {{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }}\)\(\displaystyle = \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)\)

\( \displaystyle = {\left( {\sqrt x } \right)^2} - {\left( {\sqrt y } \right)^2} = x - y\) 

(với \(x > 0\) và \(y > 0\))

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

LG câu b

\( \displaystyle{{\sqrt {{x^3}}  - 1} \over {\sqrt x  - 1}} = x + \sqrt x  + 1\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\).  

Phương pháp giải:

Phần a) áp dụng hằng đẳng thức: 

\((a - b)(a + b) = {a^2} - {b^2}\)

Phần b) áp dụng hằng đẳng thức:

\({a^3} - {b^3} = (a - b)({a^2} + ab + {b^2})\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(x > 0\) nên  \( \displaystyle\sqrt {{x^3}}  = {\left( {\sqrt x } \right)^3}\)

Ta có:

\( \displaystyle{{\sqrt {{x^3}}  - 1} \over {\sqrt x  - 1}} = {{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} - {1^3}} \over {\sqrt x  - 1}}\)\(\displaystyle = {{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)} \over {\sqrt x  - 1}}\)

\( \displaystyle = x + \sqrt x  + 1\) với \(x \ge 0\) và \( x \ne 1\). 

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.