Bài 5.98 trang 215 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số sau:

\(y = x\sqrt {1 + {x^2}} .\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
y' = \left( x \right)'\sqrt {1 + {x^2}} + x\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'\\
= \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \sqrt {1 + {x^2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \dfrac{{1 + {x^2} + {x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \dfrac{{1 + 2{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
y'' = \dfrac{{\left( {1 + 2{x^2}} \right)'\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {1 + 2{x^2}} \right)\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'}}{{1 + {x^2}}}\\
= \dfrac{{4x\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {1 + 2{x^2}} \right).\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{1 + {x^2}}}\\
= \dfrac{{4x\sqrt {1 + {x^2}} - \dfrac{{\left( {1 + 2{x^2}} \right).x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{1 + {x^2}}}\\
= \dfrac{{4x\left( {1 + {x^2}} \right) - x\left( {1 + 2{x^2}} \right)}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \dfrac{{3x + 2{x^3}}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}
\end{array}\)