Giải Bài 16 trang 71 sách bài tập toán 7 - Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác ABC có \(\widehat {A{}^{}} = {110^o}\) và \(\widehat B = \widehat C\) . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho \(\widehat {A{\rm{D}}C} = {105^o}\). Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E. Chứng minh:

a) AE < CE;

b) EC < BC < BE.

Lời giải chi tiết

•Xét ∆ACB có: \(\widehat {BAC} + \widehat {BCA} + \hat B = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Mà \(\widehat {BAC} = 110^\circ ,\)\(\widehat B = \widehat {ACB}\) (giả thiết)

Suy ra \(\hat B = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ  - \widehat {BAC}}}{2} = \frac{{180^\circ  - 110^\circ }}{2} = 35^\circ \)

 •Ta có \(\widehat {BAC} + \widehat {CAE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {CAE} = 180^\circ  - \widehat {BAC} = 180^\circ  - 110^\circ  = 70^\circ \) .

• Do AD // EC (giả thiết) nên \(\widehat {ADC} + \widehat {ECD} = {180^o}\) (hai góc trong cùng phía).

Suy ra \(\widehat {ECD} = {180^o} - \widehat {ADC} = {180^o} - {105^o} = {75^o}.\)

 Lại có \(\widehat {ACB} + \widehat {ACE} = \widehat {ECD}\) (hai góc kề nhau)

Do đó \(\widehat {ACE} = \widehat {ECD} - \widehat {ACB} = 75^\circ  - {35^o} = 40^\circ .\)

 • Trong ∆ACE có: \(\widehat {ACE} < \widehat {CAE}\) (do 40° < 70°)

Do đó AE < CE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy AE < CE.

b) Xét ∆EBC có: \(\hat E + \widehat {BCE} + \hat B = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Mà \(\widehat {BCE} = 75^\circ ,\hat B = 35^\circ \)

Suy ra  \(\hat E = 180^\circ  - \hat B - \widehat {BCE} = 180^\circ  - 35^\circ  - 75^\circ  = 70^\circ \)

Trong tam giác BCE có: \(\hat B < \hat E < \widehat {BCE}\) (do 35° < 70° < 75°).

Nên EC < BC < BE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy EC < BC < BE.