Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 5 – Chương III - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Tìm \(I = \int {\dfrac{{{{\cos }^3}x}}{{1 + \sin x}}\,dx} \).

A. \(I =  - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x + \sin x + C\).

B. \(I = \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x + \sin x + C\).

C. \(I = {\sin ^2}x - \sin x + C\)

D. \(I =  - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x - \sin x + C\).      

Câu 2. Một vật chuyển động với vận tốc \(v(t) = 1,2 + \dfrac{{{t^2} + 4}}{{1 + 3}}\,\,\,(m/s)\). Quãng đường vật đi được sau 4s  xấp xỉ bằng :

A. 11m                           B. 12m 

C. 13m                            D. 14m.

Câu 3. Cho hai hàm số \(f(x) = {x^2},\,\,g(x) = {x^3}\). Chọn mệnh đề đúng :

A. \(\int\limits_0^1 {f(x)\,dx \ge 0} \).     

B. \(\int\limits_0^1 {g(x)\,dx \le 0} \).

C. \(\int\limits_0^1 {g(x)\,dx \ge \int\limits_0^1 {f(x)\,dx} } \). 

D. \(\int\limits_0^1 {f(x)\,dx \le 0} \).

Câu 4. Đặt \(I = \int\limits_1^e {\ln x\,dx} \). Lựa chọn phương án đúng :

A. I = 1.                        

B. Cả ba phương án đều sai.

C. I = 2 – e                                   

D. I = 3 – 1 .

Câu 5. Cho f(x) là hàm liên tục trên (a ; b) và không phải là hàm hằng. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x). Lựa chọn phương án đúng:

A. F(x) –C không phải là nguyên hàm của f(x) với mọi số thực C.

B. F(x) +2C không phải là nguyên hàm của f(x) với mọi số thực C.

C. CF(x) không phải là nguyên hàm của f(x) với mọi số thực \(C \ne 1\).

D. Cả 3 phương án đều sai.

Câu 6. Tính nguyên hàm \(\int {{{\left( {{e^3}} \right)}^{\cos x}}\sin x\,dx} \) ta được:

A. \( - {e^{3\cos x}} + C\).       

B. \({e^{3\cos x}} + C\).

C. \( - \dfrac{{{e^{3\cos x}}}}{3} + C\).                 

D. \(\dfrac{{{e^{3\cos x}}}}{3} + C\).

Câu 7. Tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{2{x^2} - 7x + 7}}{{x - 2}}\,dx} \) ta được:

A. \({x^2} - 3x - \ln |x - 2| + C\).   

B. \({x^2} - 3x + \ln |x - 2| + C\).

C. \(2{x^2} - 3x - \ln |x - 2| + C\)

D.\(2{x^2} - 3x + \ln |x - 2| + C\).

Câu 8. Chọn phương án đúng .

A. \(\int {\dfrac{{dx}}{{{x^\alpha }}} = \dfrac{{{x^{1 - \alpha }}}}{{1 - \alpha }} + C\,,\forall \alpha  \in R} \).

B. \(\int {\dfrac{{dx}}{x} = \ln |Cx|} \), với C là hằng số .

C. \(\int {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}} = \dfrac{1}{{a - b}}\ln \left| {\dfrac{{x + b}}{{x + a}}} \right| + C} \), với mọi số thực a, b.

D. Cả 3 phương án trên đều sai.

Câu 9. Tính nguyên hàm \(\int {{3^{{x^2}}}x\,dx} \) ta được:

A. \(\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{2}\ln 3 + C\).         

B. \({3^{{x^2}}} + C\).

C. \(\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{{2\ln 3}} + C\).            

D. \(\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{2} + C\).

Câu 10. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x.\cos \left( {a - x} \right)\,dx} \).

A. \(I = \left( {1 - \dfrac{\pi }{2}} \right)\cos a + \sin a\).

B. \(I = \left( {1 - \dfrac{\pi }{2}} \right)\cos a - \sin a\).

C. \(I = \left( {\dfrac{\pi }{2} - 1} \right)\cos a + \sin a\).

D. \(I = \left( {1 + \dfrac{\pi }{2}} \right)\cos a - \sin a\)

Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành và hai đường thẳng x = - 1 , x = - 2 .

A. 17                           B. \(\dfrac{{17}}{4}\)

C. \(\dfrac{{15}}{4}\)                           D. 4.

Câu 12. Tìm hàm số F(x) biết rằng \(F'(x) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) và đồ thị của hàm số F(x) đi qua điểm \(M\left( {\dfrac{\pi }{6};0} \right)\).

A. \(F(x) = \cot x + \sqrt 3 \).    

B. \(F(x) =  - \cot x + \sqrt 3 \).

C. \(F(x) = \dfrac{1}{{\sin x}} + \sqrt 3 \).     

D. \(F(x) =  - \dfrac{1}{{\sin x}} + \sqrt 3 \).

Câu 13. Xét hàm số f(x) có \(\int {f(x)\,dx = F(x) + C} \). Với a, b là các số thực và \(a \ne 0\), khẳng định nào sau đây luôn đúng ?

A. \(\int {f(ax + b) = \dfrac{1}{a}F(ax + b) + C} \). 

B. \(\int {f(ax + b) = aF(ax + b) + C} \).

C. \(\int {f(ax + b) = F(ax + b) + C} \).

D. \(\int {f(ax + b) = aF(x) + b + C} \).

Câu 14. Biến đổi \(\int\limits_0^3 {\dfrac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}\,dx} \)thành \(\int\limits_1^2 {f(t)\,dt\,,\,\,t = \sqrt {x + 1} } \). Khi đó f(t) là hàm nào trong các hàm số sau ?

A. \(f(t) = 2{t^2} + 2t\).            

B. \(f(t) = 2{t^2} - 2t\).

C. \(f(t) = {t^2} + t\).           

D. \(f(t) = {t^2} - t\).

Câu 15. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0 ; 6]. Nếu \(\int\limits_1^5 {f(x)\,dx = 2\,,\,\,\int\limits_1^3 {f(x)\,dx = 7} } \) thì \(\int\limits_3^5 {f(x)\,dx} \) có giá trị bằng bao nhiêu ?

A. 5                             B. -5      

C. 9                              D. -9 .

Câu 16. Cho tích phân \(I = \int\limits_a^b {f(x).g'(x)\,dx} \) , nếu đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f(x)\\dv = g'(x)\,dx\end{array} \right.\) thì:

A. \(I = f(x).g'(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f'(x).g(x)\,dx} \)

B. \(I = f(x).g(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f(x).g(x)\,dx} \).

C. \(I = f(x).g(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f'(x).g(x)\,dx} \)

D. \(I = f(x).g'(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f(x).g'(x)\,dx} \).

Câu 17. Biết \(\int\limits_1^4 {f(t)\,dt = 3,\,\,\int\limits_1^2 {f(t)\,dt = 3} } \). Phát biểu nào sau đây nhân giá trị đúng ?

A. \(\int\limits_2^4 {f(t)\,dt = 3} \).        

B. \(\int\limits_2^4 {f(t)\,dt =  - 3} \).

C. \(\int\limits_2^4 {f(t)\,dt = 6} \).       

D. \(\int\limits_2^4 {f(t)\,dt = 0} \).

Câu 18.Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^{2x}}{.3^x}{.7^x}\).

A. \(\int {f(x)\,dx = \dfrac{{{{84}^x}}}{{\ln 84}} + C} \).

B. \(\int {f(x)\,dx = \dfrac{{{2^{2x}}{3^x}{7^x}}}{{\ln 4.\ln 3.\ln 7}} + C} \).

C. \(\int {f(x)\,dx = {{84}^x} + C} \). 

D. \(\int {f(x)\,dx = {{84}^x}\ln 84 + C} \).

Câu 19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x  - x\) và trục hoành.

A. 1                            B. \(\dfrac{1}{6}\)       

C. \(\dfrac{5}{6}\)                           D. \(\dfrac{1}{3}\).

Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\).

A. \(\dfrac{{{x^3}}}{3} - 2x - \dfrac{1}{x} + C\).

B. \(\dfrac{{{x^3}}}{3} - 2x + \dfrac{1}{x} + C\).

C. \(\dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{1}{x} + C\).              

D. \(\dfrac{{{x^3}}}{2} + 2x - \dfrac{1}{x} + C\).

Câu 21. Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{\cos 2x}}{{{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}\)  là:

A. \(\cot x - \tan x\).         

B. \( - \cot x + \tan x\).

C. \( - \cot x - \tan x\).          

D. \(\cot x + \tan x\).

Câu 22. Tính tích phân \(\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\cot x\,dx} \) ta được kết quả là :

A. \(\ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).   

B. \(\ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

C. \( - \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).                 

D. \( - \ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Câu 23. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình \(y = {x^{\dfrac{1}{2}}}{e^{\dfrac{x}{2}}}\), trục Ox, x =1 , x = 2 quay một vòng quanh trục Ox bằng :

A. \(\pi e\).                        B. \(2\pi {e^2}\)   

C. \(4\pi \)                         D. \(16\pi \).

Câu 24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, y = x và đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2}}}{4}\) trong miền \(x \ge 0,y \le 1\) là \(\dfrac{a}{b}\). Khi đó b – a bằng:

A. 4                              B. 2  

C. 3                              D. - 1

Câu 25. Cho \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right){e^x}\,dx} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 1\\dv = {e^x}\,dx\end{array} \right.\). Chọn khẳng định đúng .

A.   A. \(I = 3e - 1 + 2\int\limits_0^1 {{e^x}\,dx} \).  

B. \(I = 3e - 1 - 2\int\limits_0^1 {{e^x}\,dx} \).

C. \(I = 3e - 2\int\limits_0^1 {{e^{x\,}}\,dx} \).            

D. \(I = 3e + 2\int\limits_0^1 {{e^x}\,dx} \).

Lời giải chi tiết

1	2	3	4	5
A	B	A	A	C
6	7	8	9	10
C	B	B	C	C
11	12	13	14	15
C	B	A	B	B
16	17	18	19	20
C	D	A	B	A
21	22	23	24	25
C	C	B	D	B

 Lời giải chi tiết 

Câu 1.

Ta có:

\(I = \int {\dfrac{{{{\cos }^3}x}}{{1 + \sin x}}\,dx} \)

\(= \int {\dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + \sin x}}} \,d\left( {\sin x} \right) \)

\(= \int {\dfrac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{1 + \sin x}}} \,d\left( {\sin x} \right)\)

\( = \int {\left( {1 - \sin x} \right)} \,d\left( {\sin x} \right) \)

\(= \left( {\sin x - \dfrac{1}{2}{{\sin }^2}x} \right) + C\)

Chọn đáp án A.

Câu 2.

Quãng đường vật đi được sau 4s là:

\(s\left( t \right) = \int\limits_0^4 {\left( {1,2 + \dfrac{{{t^2} + 4}}{{t + 3}}} \right)\,dt}  \)

\(= \int\limits_0^4 {\left( {1,2 + t - 3 + \dfrac{{13}}{{t + 3}}} \right)\,dt}  \)

\(= \left( {\dfrac{{{t^2}}}{2} - 1,8t + 13\ln \left| {t + 3} \right|} \right)\left| \begin{array}{l}^4\\_0\end{array} \right.\)

\( = \left( {8 - 1,8.4 + 13\ln 7} \right) - 13\ln 3\)\( \approx 12\left( m \right)\)

Chọn đáp án B.

Câu 3.

Ta có: \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,dx = \int\limits_0^1 {{x^2}} dx = \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. = \dfrac{1}{3}\)

\(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} \,dx = \int\limits_0^1 {{x^3}} dx = \left( {\dfrac{{{x^4}}}{4}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. = \dfrac{1}{4}\)

Chọn đáp án A.

Câu 4.

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_1^e {\ln x\,dx}  = \left( {x\ln x} \right)\left| {_1^e} \right. - \int\limits_1^e {dx} \)\(\, = e - \left( x \right)\left| {_1^e} \right. = e - \left( {e - 1} \right) = 1\)

Chọn đáp án A.

Câu 5.

Ta có \(\int {f\left( x \right)} \,dx = F\left( x \right) + C\)

\( \Rightarrow \)\(CF\left( x \right)\) không phải là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)với mọi số thực \(C \ne 1\).

Chọn đáp án C.

Câu 6.

Ta có: \(\int {{{\left( {{e^3}} \right)}^{\cos x}}\sin x\,dx}  \)

\(=  - \dfrac{1}{3}\int {{e^{3\cos x}}\,d\left( {3\cos x} \right)}  \)

\(=  - \dfrac{1}{3}{e^{3\cos x}} + C\)

Chọn đáp án C.

Câu 7.

Ta có: \(\int {\dfrac{{2{x^2} - 7x + 7}}{{x - 2}}\,dx} \)

\(= \int {\dfrac{{2\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + x - 2 + 1}}{{x - 2}}} \,dx \)

\(= \int {\left( {2\left( {x - 2} \right) + 1 + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right)} \,dx\)

\( = \left( {{x^2} - 3x + \ln \left| {x - 2} \right|} \right) + C\)

Chọn đáp án B.

Câu 8.

+ Ta có: \(\int {\dfrac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right|}  + C \to \) Đáp án B sai.

+ Ta có \(\int {\dfrac{{dx}}{{{x^\alpha }}} = \dfrac{{{x^{1 - \alpha }}}}{{1 - \alpha }} + C\,,\forall \alpha  \in R} ,\alpha  \ne 1 \to \) Đáp án A sai.

+ Ta có: \(\int \dfrac{{dx}}{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}}\)

\(= \dfrac{1}{{a - b}}\int {\left( {\dfrac{1}{{x + b}} - \dfrac{1}{{x + a}}} \right)\,dx}\)

\(=  \dfrac{1}{{a - b}}\ln \left| {\dfrac{{x + b}}{{x + a}}} \right| + C \)

Chọn đáp án C.

Câu 9.

Ta có: \(\int {{3^{{x^2}}}x\,dx}  = \int {{3^{{x^2}}}} d\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right) \)\(\,= \dfrac{1}{2}\int {{3^{{x^2}}}} d\left( {{x^2}} \right) = \dfrac{1}{2}\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{{\ln 3}} + C\)   

Chọn đáp án C.

Câu 10.

Ta có: \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x.\cos \left( {a - x} \right)\,dx}  \)\(\,=  - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\,d\left( {\sin \left( {a - x} \right)} \right)} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = d\left( {\sin \left( {a - x} \right)} \right)\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \sin \left( {a - x} \right)\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(I =  - \left( {x\sin \left( {a - x} \right)} \right)\left| {_{_{\scriptstyle\atop{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}}}^{\dfrac{\pi }{2}}} \right. + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin \left( {a - x} \right)} \,dx\)

\(=  - \dfrac{\pi }{2}\sin \left( {a - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} d \left( {\cos \left( {a - x} \right)} \right)\)

\( =  - \dfrac{\pi }{2}\sin \left( {a - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {a - x} \right)\left| \begin{array}{l}^{\dfrac{\pi }{2}}\\_0\end{array} \right. \)

\(=  - \dfrac{\pi }{2}\sin \left( {a - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {a - \dfrac{\pi }{2}} \right) - \cos a\)

\( = \dfrac{\pi }{2}\cos a + \sin a - \cos a \)

\(= \left( {\dfrac{\pi }{2} - 1} \right)\,\cos a + \sin a\)

Chọn đáp án C.

Câu 11.

Diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức

\(S = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {{x^3}} \right|} \,dx = \left| {\dfrac{{{x^4}}}{4}} \right|\left| \begin{array}{l}^{ - 1}\\_{ - 2}^{}\end{array} \right.\)\(\, = \left| {\dfrac{1}{4} - 4} \right| = \dfrac{{15}}{4}.\)

Chọn đáp án C.

Câu 12.

Ta có: \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\,dx}  = \left( { - \cot x} \right) + C\)

Theo giả thiết ta có: \(F\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow  - \cot \left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) + C = 0 \Leftrightarrow C = \sqrt 3 \)

Chọn đáp án B.

Câu 13.

Ta có: \(\int {f(x)\,dx = F(x) + C} \)\( \Rightarrow \)\(\int {f(ax + b) = \dfrac{1}{a}F(ax + b) + C} \)

Chọn đáp án A.

Câu 14.

Đặt \(t = \sqrt {x + 1}  \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow dx = 2tdt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 1\\x = 3 \to t = 2\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_1^2 {2t.\dfrac{{{t^2} - 1}}{{1 + t}}} \,dt = \int\limits_1^2 {2t\left( {t - 1} \right)\,dt} \)

\( \Rightarrow f\left( t \right) = 2{t^2} - 2t\)

Chọn đáp án B.

Câu 15.

Ta có: \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right)} \,dx \)\(\,= \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,dx + \int\limits_3^5 {f\left( x \right)} \,dx = 2 \)

\(\Rightarrow \int\limits_3^5 {f\left( x \right)} \,dx = 2 - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,dx\)\(\, = 2 - 7 =  - 5\)

Chọn đáp án B.

Câu 16.

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f(x)\\dv = g'(x)\,dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)\\v = g\left( x \right)\end{array} \right.\)

Khi đó \(I = \int\limits_a^b {f(x).g'(x)\,dx} \)\(\, = \left( {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right)\left| \begin{array}{l}^b\\_a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {g\left( x \right)} f'\left( x \right)\,dx\)

Chọn đáp án A.

Câu 17.

Ta có: \(\int\limits_1^4 {f(t)\,dt = \,\,\int\limits_1^2 {f(t)\,dt + \int\limits_2^4 {f\left( t \right)\,dt} } }  \)\(\,= 3 \)

\(\Rightarrow \int\limits_2^4 {f\left( t \right)\,dt}  = 3 - \int\limits_1^2 {f(t)\,dt} \)\(\, = 3 - 3 = 0\)

Chọn đáp án D.

Câu 18.

Ta có: \(\int {{2^{2x}}{3^x}{7^x}} dx = \int {{{84}^x}} dx = \int f(x)\,dx \)\(\,= \dfrac{{{{84}^x}}}{{\ln 84}} + C\)

Chọn đáp án A.

Câu 19.

Phương trình hoành độ giao điểm \(\sqrt x  - x = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Khi đó diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức

\(S = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x  - x} \right)\,dx} \)\(\, = \left( {\dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}} - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. = \dfrac{1}{6}\)

Chọn đáp án B.

Câu 20.

Ta có: \(\int {\dfrac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} \,dx = \int {\dfrac{{{x^4} - 2{x^2} + 1}}{{{x^2}}}} \,dx\)

\(= \int {\left( {{x^2} - 2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} \,dx \)

\(= \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2x - \dfrac{1}{x} + C\)

Chọn đáp án A.

Câu 21.

Ta có: \(\int {\dfrac{{\cos 2x}}{{{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}} \,dx\)

\(= \int {\dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}} \,dx\)

\(= \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} \,dx \)

\(=  - \cot x - \tan x + C\)

Chọn đáp án C.

Câu 22.

Ta có: \(\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\cot x\,dx}  = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}\,dx} \)

\(= \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{1}{{\sin x}}\,d\left( {\sin x} \right)}  \)

\(= \ln \left| {\sin x} \right|\left| {_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}}} \right. =  - \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Chọn đáp án C.

Câu 23.

Thể tích của khối tròn xoay được xác định bởi công thức:

\(V = \pi \int\limits_1^2 {x{e^x}dx}  = \pi {e^x}\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)|_1^2 \)\(\,= \pi \left( {2{e^2} - 0} \right) = 2\pi {e^2}\)

Câu 24.

Diện tích hình phẳng dưới hạn bởi các đường thẳng và đồ thị được xác định bằng công thức:

\(S = \int\limits_0^1 {\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \right)} \,dx + \int\limits_0^1 {\left( {x - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \right)} \,dx\)

\(= \left( {x - \dfrac{{{x^3}}}{{12}}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. + \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{{{x^3}}}{{12}}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right.\)

\( = 1 - \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{12}} = \dfrac{4}{3}\)

Khi đó \(b - a = 3 - 4 =  - 1.\)

Chọn đáp án D.

Câu 25.

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 1\\dv = {e^x}\,dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

Khi đó

\(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right){e^x}\,dx}  \)

\(= \left( {\left( {2x + 1} \right){e^x}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. - 2\int\limits_0^1 {{e^x}} dx \)

\(= 3e - 1 - 2\int\limits_0^1 {{e^x}} dx\)

Chọn đáp án B