Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 3 – Chương III - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Tìm \(I = \int {{x^2}\cos x\,dx} \).

A. \({x^2}.\sin x + x.\cos x - 2\sin x + C\).  

B. \({x^2}.\sin x + 2x.\cos x - 2\sin x + C\).

C. \(x.\sin x + 2x.\cos x + C\).      

D. \(2x.\cos x + \sin  + C\).

Câu 2. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và \(y = \sqrt {x\sin x} \,\,(0 \le x \le \pi )\) là:

A. \( - \dfrac{{{\pi ^2}}}{4}\)                      B. \(\pi^2\)

C. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{2}\)                         D. \( - \dfrac{{{\pi ^2}}}{2}\).

Câu 3. Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của \(f(x) = \cos x.\sin x\) ?

A. \( - \dfrac{1}{4}\cos 2x + C\)    

B. \(\dfrac{1}{2}{\sin ^2}x + C\).

C. \( - \dfrac{1}{2}{\cos ^2}x + C\).              

D. \(\dfrac{1}{2}\cos 2x + C\).

Câu 4. Cho \(\int\limits_2^5 {f(x)\,dx = 10} \). Khi đó, \(\int\limits_5^2 {[2 - 4f(x)]\,dx} \) có giá trị là:

A. 32                               B. 34   

C. 46                               D. 40.

Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^4}}}\) là:

A. \( - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{3{x^2}}} + C\).

B. \(\dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{3{x^2}}} + C\).

C. \( - \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{{{x^3}}} + C\).    

D. \( - \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{3{x^2}}} + C\).

Câu 6. Hình phẳng S giới hạn bởi các đường y = x, y = 0, y= 4 – x . Hình này quay quanh trục Oy tạo nên vật thể có thể tích là V_y. Lựa chọc phương án đúng.

A. \({V_y} = 12\pi \).                      B. \({V_y} = 8\pi \)

C. \({V_y} = 18\pi \).                      D. \({V_y} = 16\pi \).

Câu 7. Tính nguyên hàm \(\int {x\sqrt {a - x} \,dx} \) ta được :

A. \({\left( {a - x} \right)^{\dfrac{5}{2}}} + ax + C\). 

B. \( - \dfrac{2}{5}{\left( {a - x} \right)^{\dfrac{5}{2}}} + ax + C\).

C.\({\left( {a - x} \right)^{\dfrac{5}{2}}} - a + C\).      

D. \(\dfrac{2}{5}{\left( {a - x} \right)^{\dfrac{5}{2}}} - \dfrac{2}{3}a{\left( {a - x} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\).

Câu 8. Cho miền (D) giới hạn bởi các đường sau: \(y = \sqrt x ,\,\,y = 2 - x,\,\,y = 0\). Diện tích của miền (D) có giá tri là:

A. \(\dfrac{6}{7}\)                            B. \(\dfrac{7}{6}\)

C. 1                              D. 2.

Câu 9. Hàm số \(F(x) = \dfrac{1}{4}{\ln ^4}x + C\) là nguyên hàm của hàm số nào :
A. \(\dfrac{1}{{x{{\ln }^3}x}}\).                   B. \(x{\ln ^3}x\).

C. \(\dfrac{{{x^2}}}{{{{\ln }^3}x}}\).                      D. \(\dfrac{{{{\ln }^3}x}}{x}\).

Câu 10. Tích phân \(\int\limits_0^e {\left( {3{x^2} - 7x + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)} \,dx\) có giá trị bằng :

A. \({e^3} - \dfrac{7}{2}{e^2} + \ln \left( {1 + e} \right)\).  

B. \({e^2} - 7e + \dfrac{1}{{e + 1}}\).

C. \({e^3} - \dfrac{7}{2}{e^2} - \dfrac{1}{{{{\left( {e + 1} \right)}^2}}}\). 

D. \({e^3} - 7{e^2} - \ln \left( {1 + e} \right)\).

Câu 11. Tích phân \(\int\limits_0^4 {\left( {3x - {e^{\dfrac{x}{2}}}} \right)dx = a + b{e^2}} \) khi đó a – 10b bằng:

A. 6                            B 46  

C. 26                           D. 12.

Câu 12. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục hoành, các đường thẳng x = a, x = b là :

A. \(\int\limits_a^b {\left| {f(a)} \right|\,dx} \).   

B. \( - \int\limits_a^b {f(x)\,dx} \).

C. \(\int\limits_b^a {f(x)\,dx} \).            

D. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx} \).

Câu 13. Cho \(\int\limits_{ - 2}^1 {f(x)\,dx = 1,\,\,\int\limits_{ - 2}^1 {g(x)\,dx =  - 2} } \). Tính \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {1 - f(x) + 3g(x)} \right)} \,dx\).

A. 24                               B. – 7  

C. – 4                              D. 8.

Câu 14. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Hãy chọn mệnh đề sai.

A. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_b^a {f(x)\,dx} } \).

B. \(\int\limits_a^b {k.dx = k\left( {b - a} \right),\,\forall k \in R} \).

C. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx =  - \int\limits_b^a {f(x)\,dx} } \)

D. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_a^c {f(x)\,dx + \int\limits_c^b {f(x)\,dx\,,\,\,\,c \in [a;b]} } } \)

Câu 15. Xét tích phân \(\int\limits_0^{\dfrac{x}{3}} {\dfrac{{\sin 2x}}{{1 + \cos x}}\,dx} \). Thực hiện phép đổi biến t = cosx, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây ?

A. \(I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{2t}}{{1 + 1}}\,dt} \).  

B. \(I = \int\limits_{\dfrac{0}{2}}^{\dfrac{x}{4}} {\dfrac{{2t}}{{1 + 1}}\,dt} \).

C. \(I =  - \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{2t}}{{1 + 1}}\,dt} \).    

D. \(I =  - \int\limits_{\dfrac{0}{2}}^{\dfrac{x}{4}} {\dfrac{{2t}}{{1 + 1}}\,dt} \).

Câu 16. Tìm hai số thực A, B sao cho \(f(x) = A\sin \pi x + B\), biết rằng f’(1) = 2 và \(\int\limits_0^2 {f(x)\,dx = 4} \).

A. \(\left\{ \begin{array}{l}A =  - 2\\B =  - \dfrac{2}{\pi }\end{array} \right.\).  

B. \(\left\{ \begin{array}{l}A = 2\\B =  - \dfrac{2}{\pi }\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}A =  - 2\\B = \dfrac{2}{\pi }\end{array} \right.\).   

D. \(\left\{ \begin{array}{l}B = 2\\A =  - \dfrac{2}{\pi }\end{array} \right.\)

Câu 17. Tính tích phân \(I = \int\limits_1^e {x\ln x\,dx} \).

A. \(I = \dfrac{1}{2}\)    

B. \(I = \dfrac{{3{e^2} + 1}}{4}\).

C. \(I = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}\).    

D. \(I = \dfrac{{{e^2} - 1}}{4}\).

Câu 18. Tìm nguyên hàm của \(f(x) = 4\cos x + \dfrac{1}{{{x^2}}}\)trên \((0; + \infty )\).

A. \(4\cos x + \ln x + C\).     

B. \(4\cos x + \dfrac{1}{x} + C\).

C. \(4\sin x - \dfrac{1}{x} + C\).         

D. \(4\sin x + \dfrac{1}{x} + C\).

Câu 19. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x + \dfrac{1}{x}\), trục hoành, đường thẳng x= - 1 và đường thẳng x = - 2  là:

A. \(2\ln 2 + 3\).                 

B. \(\dfrac{{\ln 2}}{2} + \dfrac{3}{4}\).

C. \(\ln 2 + \dfrac{3}{2}\).                     

D. \(\ln 2 + 1\).

Câu 20. Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {8 + \cos x} } \,dx\). Đặt u = 8 + cosx thì kết quả nào sau đây đúng ?

A. \(I = 2\int\limits_8^9 {\sqrt u du} \). 

B. \(I = \dfrac{1}{2}\int\limits_8^9 {\sqrt u \,du} \).

C. \(I = \int\limits_8^9 {\sqrt u \,du} \).               

D. \(I = \int\limits_9^8 {\sqrt u \,du} \)

Câu 21. Biết F(x) là nguyên hàm của \(f(x) = \dfrac{1}{{x - 1}}\,,\,\,F(2) = 1\). Khi đó F(3) bằng :

A. \(\ln \dfrac{3}{2}\)                         B. \(\dfrac{1}{2}\)                           

C. ln 2                          D. ln2 + 1.

Câu 22. Cho hình (H) giới hạn bởi các đường \(y = \sin x,y = 0,\,x = 0,\,x = \pi \). Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi (H) quay quanh trục Ox bằng :

A. \(\pi \int\limits_0^\pi  {{{\sin }^2}x} \,dx\).  

B. \(\dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi  {{{\sin }^2}x} \,dx\).

C. \(\dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi  {{{\sin }^4}x} \,dx\).   

D. \(\pi \int\limits_0^\pi  {\sin x} \,dx\).

Câu 23. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{2}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\,dx} \) bằng cách đặt x = 2sint. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. \(I = 2\int\limits_0^1 {dt} \).     

B. \(I = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {dt} \).

C. \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {dt} \).          

D. \(I = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {dt} \).

Câu 24. Tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt {8\ln x + 1} }}{x}\,dx} \) bằng:

A. – 2   

B. \(\dfrac{{13}}{6}\)                             

C. \(\ln 2 - \dfrac{3}{4}\)

D. \(\ln 3 - \dfrac{3}{5}\).

Câu 25. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{{6x - 2}}\).

A. \(\int {\dfrac{{dx}}{{6x - 2}} = 6\ln |6x - 2| + C} \).

B. \(\int {\dfrac{{dx}}{{6x - 2}} = \dfrac{1}{6}\ln |6x - 2| + C} \).

C. \(\int {\dfrac{{dx}}{{6x - 2}} = \dfrac{1}{2}\ln |6x - 2| + C} \).

D. \(\int {\dfrac{{dx}}{{6x - 2}} = \ln |6x - 2| + C} \).

Lời giải chi tiết

1	2	3	4	5
B	B	D	B	A
6	7	8	9	10
D	D	B	D	A
11	12	13	14	15
B	A	C	A	A
16	17	18	19	20
D	C	C	C	A
21	22	23	24	25
D	A	D	B	B

 Lời giải chi tiết 

Câu 1.

Ta có: \(I = \int {{x^2}\cos x\,dx}  = \int {{x^2}\,d\left( {\sin x} \right)} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = d\left( {\sin x} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2x\,dx\\v = \sin x\end{array} \right.\)

Khi đó ta có \(I = \int {{x^2}d\left( {\sin x} \right)}  = \left( {{x^2}\sin x} \right) - 2\int {x\sin xdx} \)

\( = \left( {{x^2}\sin x} \right) + 2\left( {x\cos x} \right) - 2\int {\cos xdx} \)

\(= \left( {{x^2}\sin x} \right) + 2\left( {x\cos x} \right) - {\mathop{\rm s}\nolimits} inx + C\).

Chọn đáp án B.

Câu 2.

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra được xác định bằng công thức sau:

\(V = \pi \int\limits_0^\pi  {\left( {x\sin x} \right)dx}  =  - \pi \int\limits_0^\pi  {xd\left( {\cos x} \right)} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = d\left( {\cos x} \right)\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \cos x\end{array} \right.\)

Khi đó

\(V =  - \pi \left( {x\cos x} \right)\left| {_0^\pi } \right. + \pi \int\limits_0^\pi  {\cos xdx}  \)\(\,=  - \pi \left( {x\cos x} \right)\left| {_0^\pi } \right. + \pi .\left( {\sin x} \right)\left| {_0^\pi } \right.\)\( =  - \pi \left( { - \pi } \right) + 0 = {\pi ^2}\)

Chọn đáp án B.

Câu 3.

Ta có: \(\int {\cos x.\sin x} \,dx = \int {\sin x\,d\left( {\sin x} \right)}  \)\(\,= \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{4} + C\)

Chọn đáp án D.

Câu 4.

Ta có: \(\int\limits_5^2 {\left[ {2 - 4f(x)} \right]dx}  \)

\(=  - \int\limits_2^5 {2\,dx}  + 4\int\limits_2^5 {f\left( x \right)} \,dx\)

\(=  - \left( {2x} \right)\left| \begin{array}{l}_{}^5\\_2^{}\end{array} \right. + 4.10 \)

\(=  - \left( {10 - 4} \right) + 40 = 34\)

Chọn đáp án B.

Câu 5.

Ta có: \(\int {\dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^4}}}} \,dx = \int {\dfrac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^4}}}} \,dx\)

\(= \int {\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{4}{{{x^3}}} + \dfrac{4}{{{x^4}}}} \right)} \,dx\)

\(=  - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{3{x^2}}} + C\)

Chọn đáp án A.

Câu 6.

Phương trình hoành độ giao điểm \(x = 4 - x \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2.\)

Khi đó, thể tích hình phẳng được xác định là:\({V_y} = \pi \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - {{\left( {2 - x} \right)}^2}} \right|} \,dx = 16\pi .\)

Chọn đáp án D.

Câu 7.

Đặt \(t = \sqrt {a - x}  \Rightarrow {t^2} = a - x \)

\(\Leftrightarrow x = a - {t^2} \Rightarrow dx =  - 2t\,dt\)

Khi đó ta có: \(\int {x\sqrt {a - x} \,dx}  =  - 2\int {\left( {a - {t^2}} \right){t^2}dt\,} \)

\(=  - 2\int {\left( {a{t^2} - {t^4}} \right)} \,dt\)\(\, =  - 2\left( {\dfrac{{a{t^3}}}{3} - \dfrac{{{t^5}}}{5}} \right) + C \)

\(= \dfrac{2}{5}{t^5} - \dfrac{2}{3}a{t^3} + C \)

\(= \dfrac{2}{5}{\left( {a - x} \right)^{\dfrac{5}{2}}} - \dfrac{2}{3}a{\left( {a - x} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\)

Chọn đáp án D.

Câu 8.

Phương trình hoành độ giao điểm giữa các đường thẳng là\(\left\{ \begin{array}{l}2 - x = 0\\\sqrt x  = 0\\\sqrt x  = 2 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Khi đó diện tích của miền \(\left( D \right)\) được xác định bởi:

\(S = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x } \right)\,dx}  + \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx}  \)

\(\;\;\;= \left( {\dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}}} \right)\left| \begin{array}{l}_{}^1\\_0^{}\end{array} \right. + \left( {2x - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_1\end{array} \right.\)

\(\;\;\;= \dfrac{2}{3} + 2 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{7}{6}\)

Chọn đáp án B.

Câu 9.

Ta có: \(\int {\dfrac{{{{\ln }^3}x}}{x}\,dx}  = \int {{{\ln }^3}x\,d\left( {\ln x} \right)}  \)\(\,= \dfrac{1}{4}{\ln ^4}x + C\)

Chọn đáp án D.

Câu 10.

Ta có: \(\int\limits_0^e {\left( {3{x^2} - 7x + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)} \,dx\)

\(= \left( {{x^3} - \dfrac{7}{2}{x^2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)\left| \begin{array}{l}^e\\_0\end{array} \right. \)

\(= \left( {{e^3} - \dfrac{7}{2}{e^2} + \ln \left( {e + 1} \right)} \right)\)

Chọn dáp án A.

Câu 11.

Ta có: \(\int\limits_0^4 \left( {3x - {e^{\dfrac{x}{2}}}} \right)dx \)

\(= \left( {\dfrac{3}{2}{x^2}} \right) \left| \begin{array}{l}^4\\_0\end{array} \right. - 2\int\limits_0^4 {{e^{\dfrac{x}{2}}}\,d\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}  \)

\(= 24 - 2\left( {{e^{\dfrac{x}{2}}}} \right)\left| \begin{array}{l}^4\\_0^{}\end{array} \right. \)

\(= 24 - 2\left( {{e^2} - 1} \right) = 26 - 2{e^2}\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 26\\b =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow a - 10b = 26 + 20 = 46.\)

Chọn đáp án B.

Câu 12.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, các đường thẳng \(x = a,x = b\) là: \(\int\limits_a^b {\left| {f(a)} \right|\,dx} \)

Chọn đáp án A.

Câu 13.

Ta có: \(\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {1 - f(x) + 3g(x)} \right)} \,dx \)

\(= \left( x \right)\left| {_{ - 2}^1} \right. - \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)} \,dx + 3\int\limits_{ - 2}^1 {g\left( x \right)} \,dx \)

\(= 3 - 1 + 3.\left( { - 2} \right) =  - 4\)     

Chọn đáp án C.

Câu 14.

Áp dụng định nghĩa và tính chất của tích phân ta có:

+ \(\int\limits_a^b {k.dx = k\int\limits_a^b {dx}  = k.\left( x \right)\left| {_a^b} \right. = k\left( {b - a} \right),\,\forall k \in R} \)

+ \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx =  - \int\limits_b^a {f(x)\,dx} } \)

+\(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_a^c {f(x)\,dx + \int\limits_c^b {f(x)\,dx\,,\,\,\,c \in [a;b]} } } \)

Chọn đáp án A.

Câu 15.

Đặt \(t = \cos x\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 1\\x = \dfrac{\pi }{3} \to t = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{\sin 2x}}{{1 + \cos x}}\,dx} \)

\(= \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{2\sin x.\cos x}}{{1 + \cos x}}\,dx} \)

\(=  - 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{\cos x}}{{1 + \cos x}}} \,d\left( {\cos x} \right)\)

\( =  - 2\int\limits_1^{\dfrac{1}{2}} {\dfrac{t}{{1 + t}}\,dt} \)

\(= \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{2t}}{{t + 1}}\,dt} \)

Chọn đáp án A.

Câu 16

Ta có \(\int\limits_0^2 {\left( {A\sin \pi x + B} \right)\,dx = 4} \)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{\pi }\int\limits_0^2 {A\sin \pi x\,d\left( {\pi x} \right)}  + B\int\limits_0^2 {dx}  = 4\)

\(\Leftrightarrow  \dfrac{A}{\pi }\left( { - \cos \pi x} \right)\left| {_0^2} \right. + B\left( x \right)\left| {_0^2} \right. = 4 \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{A}{\pi }\left( { - 1 - \left( { - 1} \right)} \right) + B\left( {2 - 0} \right) = 4\)

\(\Leftrightarrow B = 2\)

Khi đó \(f(x) = A\sin \pi x + 2\)\(\, \Rightarrow f'\left( x \right) = A\pi \cos \pi x\)

Theo giả thiết ta có: \(f'\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow A\pi .\left( { - 1} \right) = 2\)\(\, \Rightarrow A =  - \dfrac{2}{\pi }.\)

Chọn đáp án D.

Câu 17.

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_1^e {x\ln x\,dx}  \)

\(= \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right)\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. - \int\limits_1^e {\dfrac{x}{2}} \,dx \)

\(= \dfrac{{{e^2}}}{2} - \left( {\dfrac{{{x^2}}}{4}} \right)\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. \)

\(= \dfrac{{{e^2}}}{2} - \left( {\dfrac{{{e^2}}}{4} - \dfrac{1}{4}} \right) = I = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}\)

Chọn đáp án C.

Câu 18.

Ta có: \(\int {\left( {4\cos x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} \,dx \)\(\,= 4\sin x - \dfrac{1}{x} + C\)

Chọn đáp án C.

Câu 19.

Diện tích hình phằng giới hạn trên được xác định bằng công thức

\(S = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {x + \dfrac{1}{x}} \right|} \,dx = \left| {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right|} \right|\left| \begin{array}{l}^{ - 1}\\_{ - 2}\end{array} \right. \)

\(\;\;\;= \left| {\left| {\dfrac{1}{2} + \ln 1} \right| - \left| {2 + \ln 2} \right|} \right| \)

\(\,\,\,\,= \left| {\dfrac{1}{2} - 2 - \ln 2} \right| = \dfrac{3}{2} + \ln 2\)

Chọn đáp án C.

Câu 20.

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to u = 9\\x = \dfrac{\pi }{2} \to u = 8\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {8 + \cos x} } \,dx \)

\(=  - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {8 + \cos x} } \,d\left( {\cos x + 8} \right)\)

\(=  - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt u } \,d\left( u \right)\)

\( =  - \int\limits_9^8 {\sqrt u } du = \int\limits_8^9 {\sqrt u } \,du\)

Chọn đáp án C.

Câu 21.

Ta có: \(\int {\dfrac{1}{{x - 1}}\,dx}  = \int {\dfrac{1}{{x - 1}}\,d\left( {x - 1} \right)}\)\(\,  = \ln \left| {x - 1} \right| + C\)

Theo giả thiết: \(F\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow \ln 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\)

Khi đó \(F\left( 3 \right) = \ln 2 + 1.\)

Chọn đáp án D.

Câu 22.

Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi \(\left( H \right)\)quay quanh trục Ox được xác định bằng công thức

\(V = \pi \int\limits_0^\pi  {{{\sin }^2}x} \,dx\)

Chọn đáp án A.

Câu 23.

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 0\\x = 1 \to t = \dfrac{\pi }{6}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {\dfrac{2}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\,dx}  \\= \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\dfrac{4}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }}\,d\left( {\sin t} \right) }\\=  \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\dfrac{2}{{\cos t}}} .\cos t\,dt = I = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {dt} \\\end{array}\)

Chọn đáp án D.

Câu 24.

Ta có:

\(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt {8\ln x + 1} }}{x}\,dx}  \)

\(= \dfrac{1}{8}\int\limits_1^e {\sqrt {8\ln x + 1} \,d\left( {8\ln x + 1} \right)}\)

\(  = \dfrac{1}{8}.\dfrac{2}{3}{\left( {8\ln x + 1} \right)^{\dfrac{3}{2}}}\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right.\)

\( = \dfrac{1}{{12}}\left( {{9^{\dfrac{3}{2}}} - 1} \right) = \dfrac{{13}}{6}\)

Chọn đáp án B.

Câu 25.

Ta có: \(\int {\dfrac{1}{{6x - 2}}\,dx}  = \dfrac{1}{6}\int \dfrac{1}{{6x - 2}}\,d\left( {6x - 2} \right) \)\(\,= \dfrac{1}{6}\ln \left| {6x - 2} \right| + C \)

Chọn đáp án B.