Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 4 – Chương IV - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Cho hai số phức \({z_1} = 9 - i,\,\,\,{z_2} =  - 3 + 2i\). Tính giá trị của \(\left| {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right|\) bằng bao nhiêu /

A. \(\dfrac{{2\sqrt {154} }}{{13}}\).               B. \(\dfrac{{616}}{{169}}\).

C. \(\dfrac{{82}}{{13}}\).                       D. \(\sqrt {\dfrac{{82}}{{13}}} \).

Câu 2. Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\)z. Tìm phần thực của số phức \({z_1}.{z_2}\).

A. Phần thực của số phức \({z_1}.{z_2}\) là ac + bd.

B. Phần thực của số phức \({z_1}.{z_2}\) là  ac – bd .

C. Phần thực của số phức \({z_1}.{z_2}\) là ad + bc.

D. Phần thực của số phức \({z_1}.{z_2}\) là ad – bc

Câu 3. Cho số phức \(z =  - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\). Khi đó số phức \({\left( {\overline z } \right)^2}\) bằng ;

A. \( - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\).        

B. \(\sqrt 3  - i\).

C. \( - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\).      

D. \(1 + \sqrt 3 i\).

Câu 4.Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức \({z_1} = {a_1} + {b_1}i\,,\,\,{z_2} = {a_2} + {b_2}i\). Khi đó độ dài của véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) bằng ;

A. \(|{z_1} + {z_2}|\).      

B. \(|{z_1}| + |{z_2}|\).

C. \(|{z_1}| - |{z_2}|\).               

D. \(|{z_1} - {z_2}|\).

Câu 5. Mô đun của số phức z thỏa mãn \(\dfrac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \dfrac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}\) là:

A. \(\sqrt 5 \)                             B. \(\dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\)

C. \(\dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\)                           D. \(\dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}\).

Câu 6. Tính số phức sau : \(z = {\left( {1 + i} \right)^{15}}\).

A. \(z =  - 128 + 128i\).         

B. \(z = 128 - 128i\).

C. \(z = 128 + 128i\).         

D. \(z =  - 128 - 128i\).

Câu 7. Cho số phức z = a + bi. Khi đó số \(\dfrac{1}{2}\left( {z + \overline z } \right)\) là:

A. Một số thuần ảo. 

B. 2a.

C. i.               

D. a.

Câu 8. Cho các số phức \({z_1} = 2 - 5i\,,\,\,{z_2} =  - 2 - 3i\). Hãy tính \(|{z_1} - {z_2}|\).

A. \(2\sqrt 5 \)                       B. 20         

C. 12                           D. \(2\sqrt 3 \).

Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn \(\left( {3 - 2i} \right)z = 4 + 2i\). Tìm số phức liên hợp của z.

A. \(\overline z  = 4 - 2i\). 

B. \(\overline z  = \dfrac{8}{{13}} + \dfrac{{14}}{{13}}i\).

C. \(\overline z  = 3 + 2i\).    

D. \(\overline z  = \dfrac{8}{{13}} - \dfrac{{14}}{{13}}i\).

Câu 10. Giải phương trình \({z^2} - 6z + 11 = 0\), ta có nghiệm là :

A. \(z = 3 + \sqrt 2 i\).     

B. \(z = 3 - \sqrt 2 i\).

C. \(\left[ \begin{array}{l}z = 3 + \sqrt 2 i\\z = 3 - \sqrt 2 i\end{array} \right.\).          

D. Một kết quả khác .

Câu 11. Cho hai số phức \(z = a + bi\,,\,\,z' = a' + b'i\). Chọn công thức đúng .

A. \(z + z' = \left( {a + b} \right) + \left( {a' + b'} \right)i\).

B. \(z - z' = \left( {a + a'} \right) - \left( {b + b'} \right)i\).

C. \(z.z' = \left( {aa' - bb'} \right) + \left( {ab' + a'b} \right)i\). 

D. \(z.z' = \left( {aa' + bb'} \right) - \left( {ab' + a'b} \right)i\).

Câu 12. Cho z = 1 + 2i. Phần thực và phần ảo của số phức \(w = 2z + \overline z \) là:

A. 3 và 2.   

B. 3 và 2i.

C. 1 và 6.                

D. 1 và 6i.

Câu 13. Nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 1 + i\\3x + iy = 2 - 3i\end{array} \right.\) là:

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + i\\y = i\end{array} \right.\).     

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = i\\y = 1 + i\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - i\\y = i\end{array} \right.\).       

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = i\\y = 1 - i\end{array} \right.\).

Câu 14. Tìm số phức có phần thực bằng 12 và mô đun bằng 13.

A. \(5 \pm 12i\).          

B. 12 + 5i.

C. \(12 \pm 5i\).                      

D. \(12 \pm i\).

Câu 15. Phương trình \({z^2} - 2z + 3 = 0\) có các nghiệm là:

A. \(2 \pm 2\sqrt 2 i\).      

B. \( - 2 \pm 2\sqrt 2 i\).

C. \( - 1 \pm 2\sqrt 2 i\).       

D. \(1 \pm \sqrt 2 i\).

Câu 16. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(|\overline z  + 3 - 2i| = 4\) là:

A. Đường tròn tâm I(3 ; 2) có bán kính R = 4.

B. Đường tròn tâm I(3 ; -2) có bán kính R= 4.

C. Đường tròn tâm I(-3 ; 2) có bán kính R = 4.

D. Đường tròn tâm I(- 3; -2) có bán kính R = 4.

Câu 17. Hai điểm biểu diễn hai số phức liên hợp \(z = 2 + 2i,\,\,\overline z  = 2 - 2i\) đối xứng với nhau qua :

A. Trục tung.     

B. Trục hoành.

C. Gốc tọa độ.    

D. Điểm A(2; -2).

Câu 18. Cho số phức \(z = r\left( {\cos \dfrac{\pi }{2} + i\sin \dfrac{\pi }{2}} \right)\). Chọn 1 acgumen của z:

A. \( - \dfrac{\pi }{2}\)                           B. \( - \dfrac{{3\pi }}{2}\)   

C. \(\dfrac{{3\pi }}{2}\)                             D. \(\pi \).

Câu 19. Mô đun của tổng hai số phức \({z_1} = 3 - 4i\,,\,\,{z_2} = 4 + 3i\):

A. \(5\sqrt 2 \)                          B. 10

C. 8                                D. 50.

Câu 20. Cho số phức \(z =  - r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\). Tìm một acgumen của z ?

A. \( - \varphi \).    

B. \(\varphi  + 2\pi \).

C. \(\varphi  - 2\pi \).     

D. \(\varphi  + \pi \).

Câu 21. Tính \(z = \dfrac{{5 + 5i}}{{3 - 4i}} + \dfrac{{20}}{{4 + 3i}}\).

A. z = 3 –  i.   

B. z = 3 + i.

C. z = - 3 – i.   

D. z = - 3 + i.

Câu 22.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(|z + 1 + i|\, \le 2\) là;

A. Đường tròn tâm I(1 ; 1) bán kính R = 2.

B. Hình tròn tâm I(1; 1) bán kính R = 2.

C. Đường tròn tâm I(- 1 ; - 1) bán kính R = 2.

D. Hình tròn tâm I(- 1 ; - 1) bán kính R = 2.

Câu 23. Dạng lượng giác của số phức z = i – 1 là:

A. \(z = \sqrt 2 \left( {\cos \dfrac{{3\pi }}{4} - i\sin \dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\).  

B. \(z = 2\left( {\cos \dfrac{{3\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\).

C. \(z = \sqrt 2 \left( {\cos \dfrac{{ - \pi }}{4} + i\sin \dfrac{{ - \pi }}{4}} \right)\). 

D. \(z = \sqrt 2 \left( {\cos \dfrac{{3\pi }}{4} + i\sin \dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\).

Câu 24. Trong mặt phẳng phức, các điểm A, B lần lượt là điểm biểu diễn của \({z_1} = 2 - 4i\,,\,\,{z_2} = 4 + 5i\). Trung điểm của AB có tọa độ là:

A. \(A\left( {3;\dfrac{3}{2}} \right)\).    

B. \(A\left( {3;1} \right)\).

C. \(A\left( {3;\dfrac{1}{2}} \right)\).  

D. \(A\left( {6;1} \right)\).

Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn \(\left( {3 + 2i} \right)z + {\left( {2 - i} \right)^2} = 4 + i\). Mô đun của số phức \(w = \left( {z + 1} \right)\overline z \) là:

A. 2                             B. 4    

C. 10                            D. \(\sqrt {10} \).

Lời giải chi tiết

 Lời giải chi tiết 

Câu 1: D

\(\begin{array}{l}{z_1} = 9 - i;{z_2} =  - 3 + 2i\\\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{\left( {9 - i} \right)\left( { - 3 - 2i} \right)}}{{9 - 4{i^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 27 + 2{i^2} - 15i}}{{13}} =  - \dfrac{{29}}{{13}} - \dfrac{{15}}{{13}}i\\ \Rightarrow \left| {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \sqrt {{{\left( { - \dfrac{{29}}{{13}}} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{{15}}{{13}}} \right)}^2}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,  = \sqrt {\dfrac{{82}}{{13}}} \end{array}\)

Câu 2: B

Câu 3: A

\(\begin{array}{l}z =  - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\\ \Rightarrow {\left( {\overline z } \right)^2} = {\left( { - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)}^2}}}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 2 + 2\sqrt 3 i}}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =  - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array}\)

Câu 4: D

Câu 5 C

\(\begin{array}{l}\dfrac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \dfrac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{\left( { - 1 + 3i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{{{(2 + i)}^2}}}\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{2 + 4i}}{{3 + 4i}}\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{\left( {2 + 4i} \right)\left( {3 - 4i} \right)}}{{9 - 16{i^2}}}\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{6 - 16{i^2} + 4i}}{{25}}\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{22}}{{25}} + \dfrac{4}{{25}}i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\end{array}\)

Câu 6: B

\(\begin{array}{l}z = {(1 + i)^{15}} = {\left( {1 + i} \right)^{14}}(1 + i)\\\,\,\,\, = {({(1 +  + i)^2})^7}\left( {1 + i} \right) = {2^7}{i^7}\left( {1 + i} \right)\\\,\,\,\, =  - {2^7}i\left( {1 + i} \right) = 128 - 128i\end{array}\)

Câu 7: D

Câu 8: A

\({z_1} - {z_2} = \left( {2 - 5i} \right) - ( - 2 - 3i)\)\(\, = 4 - 2i\)

\( \Rightarrow \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\sqrt 5\)

Câu 9: D

\(\begin{array}{l}\left( {3 - 2i} \right)z = 4 + 2i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{4 + 2i}}{{3 - 2i}}\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{(4 + 2i)(3 + 2i)}}{{9 - 4{i^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{12 + 4{i^2} + 14i}}{{13}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{8}{{13}} + \dfrac{{14}}{{13}}i\\ \Rightarrow \overline z  = \dfrac{8}{{13}} - \dfrac{{14}}{{13}}i\end{array}\)

Câu 10: C

\(\begin{array}{l}{z^2} - 6z + 11 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{z^2} - 6z + 9} \right) + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {(z - 3)^2} + 2 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 3 = i\sqrt 2 \\z - 3 =  - i\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 3 + i\sqrt 2 \\z = 3 - i\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\)

Câu 11: C

Câu 12: A

\({\rm{w}} = 2z + \overline z  = 2(1 + 2i) + (1 - 2i) \)\(\,= 3 + 2i\)

phần thực: 3   ,   phần  ảo: 2

Câu 13: C

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 1 + i\\3x + iy = 2 - 3i\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + i - 2y{\rm{       (1)}}\\3x + iy = 2 - 3i{\rm{   (2)}}\end{array} \right.\)

Thay (1) vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}3(1 + i - 2y) + iy = 2 - 3i\\ \Leftrightarrow ( - 6 + i)y =  - 1 - 6i\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 1 - 6i}}{{ - 6 + i}}\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{\left( { - 1 - 6i} \right)\left( { - 6 - i} \right)}}{{36 - {i^2}}} = i\end{array}\)

Thay y = i vào (1) \( \Rightarrow x = 1 - i\)

Câu 14: C

Với phần thực bằng 12, nên số phức z có dạng \(z = 12 + bi\)

\(\begin{array}{l}\left| z \right| = 13 \Rightarrow \left| {12 + bi} \right| = 13\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{12}^2} + {b^2}}  = 13\\ \Leftrightarrow {b^2} = 25\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 5 \Rightarrow z = 12 + 5i\\b =  - 5 \Rightarrow z = 12 - 5i\end{array} \right.\end{array}\)

Câu 15: D

\(\begin{array}{l}{z^2} - 2z + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{z^2} - 2z + 1} \right) + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} =  - 2\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 = i\sqrt 2 \\z - 1 =  - i\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + i\sqrt 2 \\z = 1 - i\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\)

Câu 16: A

Câu 17: B

Câu 18: B

Câu 19: A

\(\begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 3 - 4i + 4 + 3i = 7 - i\\ \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 5\sqrt 2 \end{array}\)

Câu 20: D

Câu 21: A

\(\begin{array}{l}z = \dfrac{{5 + 5i}}{{3 - 4i}} + \dfrac{{20}}{{4 + 3i}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{5\left( {1 + i} \right)\left( {3 + 4i} \right)}}{{9 - 16{i^2}}} + \dfrac{{20\left( {4 - 3i} \right)}}{{16 - 9{i^2}}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{5(3 + 4{i^2} + 7i) + 20(4 - 3i)}}{{25}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{5( - 1 + 7i) + 20\left( {4 - 3i} \right)}}{{25}} = 3 - i\end{array}\)

Câu 22: D

Đặt \(z= x+yi\)

\(\begin{array}{l}\left| {z + 1 + i} \right| \le 2\\ \Rightarrow \left| {x + yi + 1 + i} \right| \le 2\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x + 1} \right) + \left( {y + 1} \right)} \right| \le 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}  \le 2\end{array}\)

Vậy  tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm I(-1, -1), bán kính bằng 2

Câu 23: D

Câu 24: C

Câu 25: D

\(\begin{array}{l}\left( {3 + 2i} \right)z + {\left( {2 - i} \right)^2} = 4 + i\\ \Leftrightarrow \left( {3 + 2i} \right)z + (3 - 4i) = 4 + i\\ \Leftrightarrow \left( {3 + 2i} \right)z = 1 + 5i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{1 + 5i}}{{3 + 2i}}\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{\left( {1 + 5i} \right)\left( {3 - 2i} \right)}}{{9 - 4{i^2}}}\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{13 + 13i}}{{13}} = 1 + i\\{\rm{w}} = (z + 1)\overline z  = (2 + i)(1 - i)\\\,\,\,\,\,\, = 2 - {i^2} - i = 3 - i\\ \Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {10} \end{array}\)