Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 3 – Chương IV - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn \(\overline z  = \left( {1 - 3i} \right)\left( { - 2 + i} \right) = 2i\). Tính \(|z|\).

A. \(|z| = 2\).  

B. \(|z| = 5\sqrt 2 \).

C. \(|z| = \sqrt {82} \).  

D. \(|z| = 4\sqrt 5 \).

Câu 2. Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn \(|z + 1 - i| \le 3\).

A. Hình tròn tâm I(1 ; - 1) , bán kính R = 3.

B. Đường tròn tâm I(-1 ; 1), bán kính R = 9.

C. Hình tròn tâm I(- 1; 1), bán kính R = 3.

D. Đường tròn tâm I(-1 ; 1), bán kính R = 9.

Câu 3. Thu gọn số phức \(z = \dfrac{{3 + 2i}}{{1 - i}} + \dfrac{{1 - i}}{{3 + 2i}}\), ta được:

A. \(z = \dfrac{{15}}{{26}} + \dfrac{{55}}{{26}}i\).  

B. \(z = \dfrac{{23}}{{26}} + \dfrac{{63}}{{26}}i\).

C. \(z = \dfrac{2}{{13}} + \dfrac{6}{{13}}i\).   

D. \(z = \dfrac{{21}}{{26}} + \dfrac{{61}}{{26}}i\).

Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn \({z^2}\) là một số ảo là :

A. Trục hoành.   

B. Trục tung.

C. Hai đường thẳng \(y =  \pm x\)   

D. Đường tròn \({x^2} + {y^2} = 1\).

Câu 5. Trong mặt phẳng phức, gọi A, B , C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \({z_1} =  - 1 + 3i\,,\,\,{z_2} = 1 + 5i\,,\,\,{z_3} = 4 + i\). Số phức z có điểm biểu diễn là điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành là:

A. \(z = 6 + 3i\).   

B. \(z = 2 - i\).

C. \(z = 2 + i\).                  

D. \(z = 6 - 3i\).

Câu 6. Tìm số phức z thỏa mãn \(\left( {3 - 2i} \right)z + \left( {4 + 5i} \right) = 7 + 3i\).

A. \(z =  - i\).               

B. \(z =  - 1\).

C. \(z = i\)                      

D. \(z = 1\).

Câu 7. Cho hai số phức \(z = a + bi\,,\,\,z' = a' + b'i\). Điều kiện để \(zz'\) là một số thực là :

A. \(ab' + a'b = 0\). 

B. \(aa' + bb' = 0\).

C. \(aa' - bb' = 0\).       

D. \(ab' - a'b = 0\).

Câu 8. Số phức liên hợp của số phức \(z =  - \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i\) là:

A. \(\overline z  = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}i\).    

B. \(\overline z  =  - \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}i\).

C. \(\overline z  = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}i\).   

D. \(\overline z  = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i\).

Câu 9. Cho số phức z = 3 + 4i. Giá trị của \(S = 2|z| - 1\) bằng bao nhiêu ?

A. S = 10.  

B. S = 9.

C. S = 11.         

D. S = 5.

Câu 10. Tìm các số thực x, y  thỏa mãn \(\left( {x + 2y} \right) + \left( {2x - 2y} \right)i = 7 - 4i\).

A. \(x =  - \dfrac{{11}}{3}\,,\,\,y = \dfrac{1}{3}\).  

B. \(x =  - 1\,,\,y =  - 3\).

 C. x = 1, y = 3.         

D. \(x =  - \dfrac{{11}}{3}\,,\,\,y =  - \dfrac{1}{3}\).

Câu 11. Gọi M, N  lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi,\,\,z' = a' + b'i\). Chọn câu trả lời đúng.

A. \(M(a;a')\).                  B. \(N(b;b')\).

C.  M(a ; b).                       D. \(N(a';b')\).

 Câu 12. Phần thực và phần ảo của số phức \(z =  - \dfrac{{1 + i}}{{1 - i}}\) là:

A. 0 và 1.                        B. 0 và i.

C. 0 và -1.                        D. 0 và – i.

Câu 13. Nghiệm của phương trình \(3{z^2} - 4z + 2 = 0\) là:

A. \({z_1} = \dfrac{{ - 2 - i\sqrt 2 }}{3}\,,\,\,{z_2} = \dfrac{{ - 2 + i\sqrt 2 }}{3}\).

B. \({z_1} = \dfrac{{ - 2 - i\sqrt 2 }}{6}\,,\,\,{z_2} = \dfrac{{ - 2 + i\sqrt 2 }}{6}\)

C. \({z_1} = \dfrac{{2 - i\sqrt 2 }}{6}\,,\,\,{z_2} = \dfrac{{2 + i\sqrt 2 }}{6}\).   

D. \({z_1} = \dfrac{{2 - i\sqrt 2 }}{3}\,,\,\,{z_2} = \dfrac{{2 + i\sqrt 2 }}{3}\).

 Câu 14.Với hai số phức bất kì \({z_1},\,{z_2}\), khẳng định nào sau đây đúng ?

A. \(|{z_1} + {z_2}|\, \le \,|{z_1}| + |{z_2}|\).  

B. \(|{z_1} + {z_2}|\, = \,|{z_1}| + |{z_2}|\).

C. \(|{z_1} + {z_2}|\, \ge \,|{z_1}| + |{z_2}|\).  

D. \(|{z_1} + {z_2}|\, = \,|{z_1}| + |{z_2}| + |{z_1} - {z_2}|\).

Câu 15. Thực hiện phép tính \(A = \dfrac{{2 + 3i}}{{1 + i}} + \dfrac{{3 - 4i}}{{1 - i}} + i\left( {4 + 9i} \right)\). Ta có:

A. A = 3 + 4i.     

B. A = - 3 + 4i.

C. A = 3 - 4i          

D. A =  - 3  – 4i.

Câu 16. Cho số phức z có \(|z| = 2\) thì số phức \(w = z + 3i\) có mô đun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là:

A. 2 và 5.                           B. 1 và 6 .

C. 2 và 6.                           D. 1 và 5.

Câu 17. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(|z + 3 - 3i| = 5\) là:

A. Đường tròn tâm I(-3 ; 3) bán kính R = 5.

B. Đường tròn tâm I(-3 ; -3) bán kính R = 5.

C. Đường tròn tâm I(3 ; 3) bán kính R = 5.

D. Đường tròn tâm I(3 ; -3) bán kính R = 5.

Câu 18. Gọi \(\varphi \) là một acgumen của z, chọn mệnh đề đúng .

A. \(\varphi  + \pi \) là một acgumen của z.

B. \(\varphi  - \pi \) là một acgumn của z.

C. \(\varphi  - 2\pi \) là một acgumen của z.  

D. \(\varphi  + 3\pi \) là một acgumen của z.

Câu 19. Số phức \(z = {\left( {1 - i} \right)^3}\) bằng :

A. 1 + i.                        

B. – 2 – 2i.

C. – 2 + 2i.        

D. 4 + 4i.

Câu 20. Nghịch đảo của số phức \(z = 4 + 3i\)là

A. 4 – 3i .  

B. \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}i\).

C. \( - \dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{5}i\).          

C. \(\dfrac{4}{{25}} - \dfrac{3}{{25}}i\).

Câu 21. Cho A và B là các điểm biểu diễn các số phức \({z_1} = 1 + 2i\,,\,\,{z_2} = 1 - 2i\). Diện tích của tam giác OAB bằng:

A. 1                               B. 2     

C. 4                               D. \(\dfrac{5}{2}\).

Câu 22. Cho số phức z có dạng lượng giác \(z = 4\left( {\cos \left( { - \pi } \right) + i\sin \left( { - \pi } \right)} \right)\). Dạng đại số của z là :

A. z = - 4.                      B. z = - i.

C. z = 4i.                        D. z = - 4i.

Câu 23. Cho các số phức \({z_1} = 1 - 4i\,,\,\,{z_2} =  - 1 - 3i\). Hãy tính \(|{z_1} + {z_2}|\).

A. 7                            B. 10 

C. 12                           D. 9

Câu 24. Cho số phức \(z = a + bi\). Tìm mệnh đề đúng.

A. \(z - \overline z  = 2a\).               

B. \(z + \overline z  = 2a\).

C. \(|{z^2}| = |z{|^2}\).                

D. \(z.\overline z  = {a^2} - {b^2}\).

Câu 25. Với hai số phức bất kì \({z_1},\,{z_2}\), khẳng định nào sau đây đúng ?

A. \(|{z_1} + {z_2}|\, = \,|{z_1}| + |{z_2}|\). 

B. \(|{z_1} + {z_2}|\, \ge \,|{z_1}| + |{z_2}|\).

C. \(|{z_1} - {z_2}|\,\, \le \,|{z_1}| + |{z_2}|\).        

D. \(|{z_1} + {z_2}|\, = \,|{z_1}| + |{z_2}| + |{z_1} - {z_2}|\).

Lời giải chi tiết

 Lời giải chi tiết 

Câu 1: C

Đặt \(z = x + yi\)

\(\begin{array}{l}x - yi - \left( {1 - 3i} \right)( - 2 + i) = 2i\\ \Leftrightarrow x - yi - ( - 2 + 7i - 3{i^2}) = 2i\\ \Leftrightarrow x - yi - 1 - 7i = 2i\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y + 7 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 9\end{array} \right. \\\Rightarrow z = 1 - 9i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {1 + {{( - 9)}^2}}  = \sqrt {82} \end{array}\)

Câu 2: C

Đặt \(z = x + yi\)

\(\eqalign{&\left| {z + 1 - i} \right| \le 3\cr& \Rightarrow \left| {x + yi + 1 - i} \right| \le 3\cr& \Leftrightarrow \left| {\left( {x + 1} \right) + \left( {y - 1} \right)} \right| \le 3\cr& \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  \le 3\cr}\)

Tập hợp biểu diễn số phức z à hình tròn tâm I( -1,1), bán kính \(r=3\)

Câu  3: A

\(\eqalign{z& = \dfrac{{3 + 2i}}{{1 - i}} + \dfrac{{1 - i}}{{3 + 2i}}\cr& = \dfrac{{{{\left( {3 + 2i} \right)}^2} + {{\left( {1 - i} \right)}^2}}}{{\left( {1 - i} \right)\left( {3 + 2i} \right)}}\cr&= \dfrac{{9 + 4{i^2} + 12i + 1 + {i^2} - 2i}}{{3 - 2{i^2} - i}}\cr& = \dfrac{{5 + 10i}}{{5 - i}}\cr& = \dfrac{{5(1 + 2i)(5 + i)}}{{25 - {i^2}}}\cr& = \dfrac{{5(5 + 2{i^2} + 11i)}}{{26}}\cr&= \dfrac{{5(3 + 11i)}}{{26}} = \dfrac{{15}}{{26}} + \dfrac{{55}}{{26}}i\cr}\)

Câu 4: C

Đặt z = x +yi

Có \({z^2} = {(x + yi)^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)

Có z là 1 số thuần ảo nên \({x^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = {y^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = x\\y =  - x\end{array} \right.\)

Điểm biểu diễn số phức x là đường thẳng \(y = x,{\rm{ }}y =  - x\)

Câu 5: B

Câu 6: D

\(\begin{array}{l}(3 - 2i)z + 4 + 5i = 7 + 3i\\ \Leftrightarrow (3 - 2i)z = 3 - 2i\\ \Leftrightarrow z = 1\end{array}\)

Câu 7: A

\(\begin{array}{l}z = a + bi,\,\,z' = a' + bi'\\z.z = (a + i)(a' + b'i)\\\,\,\,\,\,\,\,\, = a.a' - b.b' + (a'b + ab')i\end{array}\)

Để z.z^’ là số thực thì a'b + ab' = 0

Câu  8: B

Câu 9: B

\(\begin{array}{l}z = 3 + 4i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\\ \Rightarrow S = 2\left| z \right| - 1 = 2.5 - 1 = 9\end{array}\)

Câu 10: C

\(\begin{array}{l}(x + 2y) + (2x - 2y)i = 7 - 4i\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 7\\2x - 2y =  - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 7\\x - y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Câu 11: C

Câu 12: C

\(z =  - \dfrac{{1 + i}}{{1 - i}} =  - \dfrac{{{{(1 + i)}^2}}}{{1 - {i^2}}} =  - i\)

phần thực: 0   , phần ảo: -1

Câu 13: D

\(\begin{array}{l}3{z^2} - 4z + 2 = 0\\\Delta ' = {(b')^2} - ac = 4 - 3.2 =  - 2 = 2{i^2}\end{array}\)

\(\Delta \) có hai căn bậc hai là \(i\sqrt 2 \)và\( - i\sqrt 2 \)

Pt có nghiệm  là \({x_1} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}i,{x_2} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}i\)

Câu 14: A

Câu 15: B

\(\eqalign{A& = \dfrac{{2 + 3i}}{{1 + i}} + \dfrac{{3 - 4i}}{{1 - i}} + i(4 + 9i)\cr& = \dfrac{{(2 + 3i)(1 - i) + (3 - 4i)(1 + i)}}{{1 - {i^2}}} + i(4 + 9i)\cr& = \dfrac{{2 - 3{i^2} + i + 3 - 4{i^2} - i}}{2} + 4i - 9\cr& = 6 + 4i - 9 =  - 3 + 4i\cr}\)

Câu  16: D

\(\begin{array}{l}\left| {\rm{w}} \right| = \left| {z + 3i} \right|\\ \Rightarrow \left| {\left| z \right| - \left| {3i} \right|} \right| \le \left| {z + 3i} \right| \le \left| z \right| + \left| {3i} \right|\\ \Rightarrow \left| {2 - 3} \right| \le \left| {z + 3i} \right| \le 2 + 3\\ \Rightarrow 1 \le \left| {z + 3i} \right| \le 5\\ \Rightarrow \max \left| {\rm{w}} \right| = 5,\min \left| {\rm{w}} \right| = 1\end{array}\)

Câu 17: A

Đặt z = x +yi

\(\begin{array}{l}\left| {z + 3 - 3i} \right| = 5\\ \Rightarrow \left| {x + yi + 3 - 3i} \right| = 5\\ \Rightarrow \left| {\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 3} \right)i} \right| = 5\\ \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}}  = 5\end{array}\)

ð  Tập hợp biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(-3,3), bán kính là 5

Câu 18: C

Câu 19: B

\(z = {(1 - i)^3} \\\;\;= {(1 - i)^2}.(1 - i) \\\;\;= (1 - 2i + {i^2})(1 - i)\\\;\; =  - 2i(1 - i) = 2 - 2i\)

Câu 20: C

\(z = 4 +3i\)

Nghịch đảo của số phức z là: \(\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{4 + 3i}} = \dfrac{{4 - 3i}}{{16 - 9{i^2}}}\)\(\; = \dfrac{{4 - 3i}}{{25}} = \dfrac{4}{{25}} - \dfrac{3}{{25}}i\)

Câu 21: B

Có  O( 0, 0); A( 1, 2); B( 1, -2)

\(OA = OB = \sqrt 5  \Rightarrow \Delta OAB\) cân tại O

Gọi H là trung điểm của AB

\( \Rightarrow H(\left( {1,0} \right) \Rightarrow OH = 1\)

Mặt khác, AB=4 nên ta có \({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}.1.4 = 2\)

Câu 22: A

Câu 23: A

\(\begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 1 - 4i - 1 - 3i =  - 7i\\ \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {{{( - 7)}^2}}  = 7\end{array}\)

Câu 24: B

Câu 25: C