Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 1 – Chương IV - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Tìm tập nghiệm S của phương trình \({z^3} + {z^2} - 2 = 0\) trên trường số phức.

A. \(S = \{  - 1 - i,\, - 1 + i\} \).              

B. \(S = \{ 1,\,1 - i,\,1 + i\} \).

C. \(S = \{ 1,\, - 1 - i,\, - 1 + i\} \).     

D. \(S = \{ 1\} \).

Câu 2. Tính mô đun của số phức \(z\dfrac{{1 + 2i}}{{1 - i}}\).

A. \(|z| = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\).     

B. \(|z| = \sqrt {10} \).

C. \(|z| = \dfrac{5}{2}\).              

D. \(|z| = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\).                                        

Câu 3. Số phức \(z = \dfrac{{1 - i}}{{1 + i}} - 3 + 4i\) có số phức liên hợp là:

A. \(\overline z  =  - 3i\).  

B. \(\overline z  =  - 3\).

C. \(\overline z  =  - 3 + 3i\).                 

D. \(\overline z  =  - 3 - 3i\).

Câu 4. Trên mặt phẳng tọa độ, để tập hợp điểm biểu diễn các số phức z nằm trong phần gạch chéo ( kể cả biên ) ở  hình vẽ dưới đây thì điều kiện của z là:

A. \(|z| \le 1\) và phần ảo thuộc đoạn \(\left[ { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\).

B. \(|z| \le \dfrac{1}{2}\)và phần thực thuộc đoạn \(\left[ { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\).

C. \(|z| \le \dfrac{1}{2}\) và phần ảo thuộc đoạn \(\left[ { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\).

D. \(|z| \le 1\) và phần thực thuộc đoạn \(\left[ { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\).

Câu 5. Mô đun của số phức z thỏa mãn \(z + \left( {2 + i} \right)\overline z  = 3 + 5i\) là:

A. \(\sqrt {17} \)                       B. \(\sqrt {15} \) 

C. \(\sqrt {13} \)                        D. \(\sqrt {14} \).

Câu 6. Trong tập số phức C, chọn phát biểu đúng .

A. \(z + \overline z \) là số thuần ảo. 

B. \(\overline {{z_1} + {z_2}}  = \overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}} \).

C. \({z^2} - {\left( {\overline z } \right)^2} = 4ab\).    

 D. \(|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|\).

Câu 7. Gọi \({z_1}\,,\,{z_2}\) lần lượt là nghiệm của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Tính \(|{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2}\).

A. 20                             B. 50 

C. 100                           D. 15                            

Câu 8. Cho số phức z = 2 + 3i. Giá trị của \(|2iz - \overline z |\) bằng :

A. 15                             B. \(\sqrt {15} \)  

C. 113                            D. \(\sqrt {113} \).

Câu 9. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức z = - 5  – 6i  là điểm nào sau đây ?

A. P(5 ; - 6).                   B. Q(5 ; 6).

C. M(- 5 ; 6).                  D. N(- 5 ; - 6 ).

Câu 10. Tìm  số phưc liên hợp của số phức \(z = 1 - 9i\).

A. \(\overline z  =  - 1 - 9i\).                

B. \(\overline z  =  - 1 + 9i\).

C. \(\overline z  = 1 - 9i\).                  

D. \(\overline z  = 1 + 9i\).

Câu 11. Số phức z là số thực nếu:

A. a = 0.                    B. b = 0.

C.  i = 0.                    D. a. b = 0.

Câu 12. Các số thực x , y thỏa mãn \(\dfrac{{x - 3}}{{3 + i}} + \dfrac{{y - 3}}{{3 - i}} = i\). Khi đó tổng T = x + y bằng :

A. 4                            B. 5                  

C. 6                             D. 7

Câu 13. Cho biểu thức \(|z| + z = 3 + 4i\). Số phức z là :

A. \(z = \dfrac{7}{6} - 4i\). 

B. \(z = \dfrac{6}{7} + 4i\).

C. \(z =  - \dfrac{7}{6} - 4i\).            

D. \(z =  - \dfrac{7}{6} + 4i\).

Câu 14. Cho số phức z thỏa mãn \(|z - 2 - 2i| = 1\). Số phức z  - i có mô đun nhỏ nhất là:
A. \(\sqrt 5  - 1\).

B. \(1 - \sqrt 5 \).

C. \(\sqrt 5  + 1\).                                

D. \(\sqrt 5  + 2\).

Câu 15. Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 2i\,,\,\,{z_2} = 2 - 3i\). Phần thực và phần ảo của số phức \(w = 3{z_1} - 2{z_2}\) là:

A. 1 và 12.                  

B. – 1 và 12.

C. – 1 và 12i.                

D. 1 và 12i.

Câu 16. Cho số phức z thỏa mãn \(|z + 3| + |z - 3| = 10\). Giá trị nhỏ nhất của \(|z|\) là:

A. 3                            B. 4               

C. 5                            D. 6

Câu 17.  Nghiệm của phương trình \(2{z^4} + {z^2} - 1 = 0\) trên tập số phức là:

A. \(z =  \pm i\).   

B. \(\left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\z = i\end{array} \right.\).

C. \(\left[ \begin{array}{l}z =  \pm \dfrac{i}{{\sqrt 2 }}\\z =  \pm i\end{array} \right.\).   

D. \(\left[ \begin{array}{l}z =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\z =  \pm i\end{array} \right.\).

Câu 18. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(|z| = |2 + 2i|\) là:

A. Đường tròn bán kính \(2\sqrt 2 \).

B. Đường tròn bán kính 4.

C. Đường tròn bán kính 2.

D. Đường tròn bán kính \(4\sqrt 2 \).

Câu 19. Số phức z có mô đun r và acgumen \(\varphi \) thì có dạng lượng giác là:

A. \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\).  

B. \(z = r\left( {\cos \varphi  - i\sin \varphi } \right)\).

C. \(z = r\left( {\sin \varphi  + i\cos \varphi } \right)\). 

D. \(z = r\left( {\sin \varphi  - i\cos \varphi } \right)\).

Câu 20. Tổng của hai số phức \({z_1} = 1 - 2i\,,\,\,{z_2} = 2 + 3i\) là:

A. \(2 - 5i\).          

B. 2 + 5i.

C. 3 + i.                   

D. 3 + 5i.

Câu 21. Gọi \(\varphi \) là 1 acgumen cảu số phức z có biểu diễn là \(M\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\)nằm trên đường tròn đơn vị, số đo nào sau đây có thể là một acgumen của z ?

A. \(\dfrac{\pi }{2}\)                          B. \(\dfrac{\pi }{3}\) 

C. \(\dfrac{\pi }{4}\)                           D. \(\dfrac{\pi }{6}\).

Câu 22. Cho số phức z thỏa mãn \(|z + 1 - i|\,\, \le \,3\)là số thực. Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là:
A. Đường tròn .  

B. Đường thẳng .

C. Hình tròn .        

D. Một điểm duy nhất.

Câu 23. Cho hai số phức \({z_1} = 4 + 5i\,,\,\,{z_2} = 1 + 2i\). Tìm khẳng định  đúng ?

A. \({z_1} + {z_2} = 5 + 7i\).        

B. \({z_1} - {z_2} = 3 + 4i\).

C. \({z_1}.{z_2} = 10 + 3i\).          

D. \({z_1}.{z_2} = 20 + 5i\).

Câu 24. Tìm điểm M biểu diễn số phức z = 2 + 2i.

A. M ( 2 ; - 2).     

B. M (2 ; 2).

C. M ( -2 ; 2).                     

D. M (-2  ; 2).

Câu 25. Cho số phức z có dạng lượng giác \(z = 4\left( {\cos \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)\). Dạng đại số của z là :

A. z = 4.           

B. z = - i.

C. z = 4i.              

D. z = - 4i.

Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết

Câu 1: (C)

 \(\begin{array}{l}{z^3} - {z^2} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {z - 1} \right)\left( {{z^2} + 2z + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 = 0\\{z^2} + 2z + 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)\(\)

Giải pt (2)

Ta có  \(\Delta  = {(b')^2} - a.c = 1 - 2 =  - 1 = {i^2}\)

\(\Delta \) có hai căn bậc hai là i và – i

Nghiệm của pt (2) là \({x_1} =  - 1 - {\rm{ }}i\) và   

Tập nghiệm S trên trường số phức là: S={ 1, -1- i, -1+ i}

Câu 2: (D)

 \(\begin{array}{l}z = \dfrac{{1 + 2i}}{{1 - i}} = \dfrac{{\left( {1 + 2i} \right).\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {1 - i} \right)\left( {1 + i} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{1 + 3i + 2.{i^2}}}{{1 - {i^2}}} = \dfrac{{ - 1 + 3.i}}{2}\\\,\,\,\, = \dfrac{{ - 1}}{2} + \dfrac{3}{2}i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\end{array}\)

Câu 3: (D) 

\(\begin{array}{l}z = \dfrac{{1 - i}}{{1 + i}} - 3 + 4i\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {1 - i} \right)}^2}}}{{1 - {i^2}}} - 3 + 4i\\\,\,\,\,\, =  - i - 3 + 4i =  - 3 + 3i\end{array}\)

Số phức liên hợp của z là: \(\overline z  =  - 3 - 3i\)

Câu 4: (A)

Câu 5: (C)

Đặt z = a + bi      \(a,b \in \mathbb{Z}\)

\(\begin{array}{l}z + \left( {2 + i} \right)\overline z  = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow \left( {a + bi} \right) + \left( {2 + i} \right)\left( {a - bi} \right) = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow 3a + b + ai - bi = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow 3a + b + \left( {a - b} \right)i = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + b = 3\\a - b = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 3\end{array} \right.\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow z = 2 - 3i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {13} \end{array}\)

Câu 6: (B)

Câu 7: (A)                       \({z^2} + 2z + 10 = 0\)

Có \(\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = 1 - 10 =  - 9 = {\left( {3i} \right)^2}\)

\(\Delta \) có hai căn bậc hai là 3i và – 3i

Phương trình có hai nghiệm \({z_1} = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} + {\rm{ }}3i\) và \({z_2} = {\rm{ }} - 1{\rm{ }}--{\rm{ }}3i\)

\(\begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {10} \\ \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = {\left| {{z_2}} \right|^2} = 10\\ \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 20\end{array}\)

Câu 8: (D)       

\(\begin{array}{l}z{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3i\\ \Rightarrow 2iz - \overline z  = {\rm{ }}2i\left( {2{\rm{ }} + 3i} \right){\rm{ }}--{\rm{ }}\left( {2{\rm{ }}--{\rm{ }}3i} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4i - 6 - 2 + 3i\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =  - 8 + 7i\end{array}\)

Câu 9: (D)

Câu 10: (D)

Câu 11: (B)

Câu 12: (C)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{x - 3}}{{3 + i}} + \dfrac{{y - 3}}{{3 - i}} = i\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {3 - i} \right) + \left( {y - 3} \right)\left( {3 + i} \right) = i\left( {3 - i} \right)\left( {3 + i} \right)\\ \Leftrightarrow 3\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right)i + 3\left( {y - 3} \right) + \left( {y - 3} \right)i = 10i\\ \Leftrightarrow 3\left( {x + y - 6} \right) + \left( {y - x} \right)i = 10i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - 6 = 0\\y - x = 10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 6\\y - x = 10\end{array} \right.\end{array}\)

Câu 13: (D)                                       

Đặt  \(z = a + bi;\,\,\,\,a,b \in \mathbb{Z}\)    

\(\begin{array}{l}|z| + z = 3 + 4i\\ \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  + a + bi = 3 + 4i\\\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + a = 3{\rm{   (1)}}\\b = 4{\rm{                   (2)}}\end{array} \right.\end{array}\)       ­­

Thay (2) v ào (1) ta được:

 \(\begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {{16}^2}}  + a = 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{16}^2}}  = 3 - a\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\6a =  - 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\a = \dfrac{{ - 7}}{6}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow a = \dfrac{{ - 7}}{6}\\ \Rightarrow z =  - \dfrac{7}{6} + 4i\end{array}\)

Câu 14: (A)                           

Đặt z = x +yi                   M(x,y)      \(x,y \in \mathbb{Z}\)

\(\begin{array}{l}|z - 2 - 2i| = 1\\ \Leftrightarrow |x + yi - 2 - 2i| = 1\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 2} \right)i} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{(y - 2)}^2}}  = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\end{array}\)=1

Điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm I(2,2), bán kính r = 1

Ta lại có:  \(\left| {z--i} \right| = \left| {x + yi--i} \right| \)\(\,= \left| {x + \left( {y--1} \right)} \right| = \sqrt {{x^2} + {{(y - 1)}^2}} \)

Lấy H(0, 1) suy ra \(HM = \sqrt {{x^2} + {{(y - 1)}^2}} \)

Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH nhỏ nhất khi M là giao điểm của HI với đường tròn.

Có H(0,1) , I(2,2) nên \(\overrightarrow {HI}  = \left( {2;1} \right)\) = (2,1)

Pt đường thẳng HI: (1) \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 + t\end{array} \right.\)

Mặt khác, HI giao với đường tròn tại M nên thay (1) vào pt đường tròn ta được :

\(\begin{array}{l}{\left( {2t - 2} \right)^2} + {\left( {t - 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow 5{\left( {t - 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = \dfrac{1}{5}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\t - 1 =  - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\t = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{M_1} = \left( {2 + \dfrac{2}{{\sqrt 5 }},2 + \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)\\{M_2} = \left( {2 - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }},2 - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)\end{array} \right.\\\\\end{array}\)

Có \(H{M_1} = \sqrt 5  + 1;\,\,H{M_2} = \sqrt 5  - 1\)

\(|z - i{|_{\min }} \Leftrightarrow |z - i| = H{M_2} = \sqrt 5  - 1\)  với \({M_2} = \left( {2 - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }},2 - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)\)

Câu 15: (B)                           

\(\begin{array}{l}w = 3{z_1}--2{z_2}\\\,\,\,\,\,\, = 3\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}2i} \right)--2\left( {2--3i} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 3 + 6i - 4 + 6i\\\,\,\,\,\,\, =  - 1 + 12i\end{array}\)

Phần thực: -1 , phần ảo: 12

Câu 16: (B)                                   Đặt \(z = a + bi;\,\,\,\,a,b \in \mathbb{Z}\)

\(\begin{array}{l}\left| {z + 3} \right| + \left| {z--3} \right| = 10\\ \Leftrightarrow |a + bi + 3| + |a + bi - 3| = 10\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}}  + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}}  = 10\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

\(10 = \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}}  + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}}  \)\(\,\le \sqrt {2{\rm{[}}{{(a + 3)}^2} + {b^2} + {{(a - 3)}^2} + {b^2}{\rm{]}}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {2\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 18} \right)}  \ge 10\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 9 \ge 25\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 16\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \ge 4\\ \Leftrightarrow |z| \ge 4\\ \Leftrightarrow |z{|_{\min }} = 4\end{array}\)

Câu 17: (D)         

\(\begin{array}{l}2{z^4} + {z^2} - 1 = 0\\\Delta  = {b^2} - 4ac = 1 + 4.2 = 9\end{array}\)

Nghiệm của phương trình là:

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{z^2} = \dfrac{{ - 1 - 3}}{4} =  - 1 = {i^2}\\{z^2} = \dfrac{{ - 1 + 3}}{4} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z =  \pm i\\z =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\end{array}\)

Câu 18: (A)                 

\(\left| z \right| = \left| {2 + 2i} \right| = 2\sqrt 2 \)

Đặt z= a+ bi

\(\begin{array}{l}|z| = 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow |a + bi| = 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 2\sqrt 2 \end{array}\)

Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z  là đường tròn có tâm O(0,0), bán kính \(r = 2\sqrt 2 \)

Câu 19: (A)

Câu 20: (C)

\({z_1} + {z_2} = 1--2i + 2 + 3i = 3 + i\)

Câu 21: (B)

Câu 22: (C)         Đặt z = x + yi

 \(\begin{array}{l}|z + 1 - i| \le 3\\ \Leftrightarrow |x + yi + 1 - i| \le 3\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x + 1} \right) + \left( {y - 1} \right) \le 3} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  \le 3\end{array}\)

Điểm biểu diễ số phức z là một hình tròn tâm I(-1,1), bán kính \(r = 3\)

Câu 23: (A)   \({z_1} + {z_2} = 4 + 5i + 1 + 2i = 5 + 7i\)

Câu 24: (B)

Câu 25: (D)