Bài 5 trang 93 SGK Hình học 10

Cho ba điểm \(A(4; 3), B(2; 7), C(-3; -8)\)

LG a

Tìm tọa độ điểm \(G\) , trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trọng tâm tìm \(G\).

Sử dụng tính chất \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\) và \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\) tìm tọa độ điểm \(H\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(G(x_G; \, y_G)\) là trọng tâm tam giác \(\Delta ABC.\) Khi đó ta có:

\(\eqalign{
& {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3}\cr& \Rightarrow {x_G} = {{4 + 2 - 3} \over 3} = 1 \cr 
& {y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3}\cr& \Rightarrow {y_G} = {{3 + 7 - 8} \over 3} = {2 \over 3} \cr} \)

Vậy \(G\left(1; \, \, {2 \over 3}\right)\)

Gọi \((x; y)\) là tọa độ của \(H\)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AH} = (x - 4; \, y - 3);\cr&\overrightarrow {BC} = ( - 5; \,  - 15) \cr 
& \overrightarrow {BH} = (x - 2; \, y - 7);\cr&\overrightarrow {AC} = ( - 7; \, - 11) \cr 
& \overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC}\cr& \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow - 5(x - 4) - 15(y - 3) = 0 \cr&\Leftrightarrow x + 3y - 13 = 0 \cr 
& \overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \cr&\Leftrightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow - 7(x - 2) - 11(y - 7) = 0 \cr&\Leftrightarrow 7x + 11y - 91 = 0 \cr} \)

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x +3 y - 13 = 0 \hfill \cr 
7x + 11y - 91 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H(13;0)\)

Cách khác:

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 15} \right)\)

\(AH \bot BC\) nên \(AH\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  =  - \dfrac{1}{5}\overrightarrow {BC}  = \left( {1;3} \right)\) làm VTPT.

Mà \(AH\) đi qua \(A\left( {4;3} \right)\) nên \(1\left( {x - 4} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 3y - 13 = 0\)

\(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 7; - 11} \right)\)

\(BH \bot AC\) nên \(BH\) nhận \(\overrightarrow {{n_2}}  =  - \overrightarrow {AC}  = \left( {7;11} \right)\) làm VTPT.

Mà \(BH\) đi qua \(B\left( {2;7} \right)\) nên \(7\left( {x - 2} \right) + 11\left( {y - 7} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 7x + 11y - 91 = 0\)

\(H = AH \cap BH\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 13 = 0\\7x + 11y - 91 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 13\\y = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow H\left( {13;0} \right)\) .

LG b

Tìm \(T\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Chứng minh \(T, G, H\) thẳng hàng.

Phương pháp giải:

 \(T\) là tâm đường tròn ngoại tiếp thì \(TA=TB=TC\).

Lời giải chi tiết:

Tâm \(T\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) thỏa mãn điều kiện

\(TA = TB = TC \)\(⇒ TA^2= TB^2= TC^2\)

\(⇒ {\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} +{\left( {y-3} \right)^2} \)\(= {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2} + {\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + {y^2} - 6y + 9\) \(= {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 14y + 49\)

\( \Leftrightarrow  - 4x + 8y - 28 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}7 =0\)

\({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} +{\left( {y-3} \right)^2} \)\(= {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y +8} \right)^2}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + {y^2} - 6y + 9 \) \(= {x^2} + 6x + 9 + {y^2} + 16y + 64\)

\( \Leftrightarrow  - 14x - 22y - 48 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{ }}7x{\rm{ }} + 11y +24 = 0\)

Do đó tọa độ tâm \(T\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \matrix{
x - 2y + 7 = 0 \hfill \cr 
7x + 11y + 24 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow T( - 5;1)\)

Ta có: \(\overrightarrow {TH}  = ( 18;-1);\overrightarrow {TG}  = \left( {6; - \dfrac{1}{3}} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {TH}  = {3}\overrightarrow {TG} \)

Vậy ba điểm \(H, G, T\) thẳng hàng.

LG c

Sử dụng công thức phương trình đường tròn biết tâm và bán kính.

Lời giải chi tiết:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có tâm \(T(-5; 1)\), bán kính \(R = AT\)

\({R^2} = A{T^2} = {\left( { - 5-{\rm{ }}4} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {1-3} \right)^2} \)\(= 85\)

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là:

\((x + 5)^2+ (y – 1)^2= 85\)