Bài 4 trang 93 SGK Hình học 10

Cho đường thẳng \(Δ: x – y + 2=0\) và hai điểm \(O(0; 0); \, A(2; 0).\)

LG a

Tìm điểm đối xứng của \(O\) qua \(Δ\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H(x;y)\) là hình chiếu của \(O\) trên \(Δ\), \(\overrightarrow {OH}  = (x;y)\)

\( Δ: x – y + 2 = 0\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u (1;1)\)

\(\overrightarrow {OH}  \bot \Delta  \) \(\Rightarrow 1.x + 1.y = 0 \Leftrightarrow x + y = 0\)

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x + y = 0 \hfill \cr 
x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H( - 1;1)\)

Gọi \(O’\) là đỉnh đối xứng của \(O\) qua \(Δ\) thì \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OO’\)

\(\eqalign{
& {x_H} = {{{x_O} + {x_{O'}}} \over 2} \Leftrightarrow - 1 = {{0 + {x_{O'}}} \over 2} \cr&\Rightarrow {x_{O'}} = - 2 \cr 
& {y_H} = {{{y_O} + {y_{O'}}} \over 2} \Leftrightarrow - 1 = {{0 + {y_{O'}}} \over 2}\cr& \Rightarrow {y_{O'}} = 2 \cr} \)

Vậy \(O’(-2;2)\).

Cách khác:

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(O\) và vuông góc \(\Delta \).

\(\Delta \) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTPT nên nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1;1} \right)\) làm VTCP.

\(d \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \overrightarrow u  = \left( {1;1} \right)\) là VTPT của \(d\).

Mà \(d\) đi qua \(O\left( {0;0} \right)\) nên \(1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + y = 0\)

Gọi \(H = d \cap \Delta \) thì tọa độ điểm \(H\) thỏa mãn:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow H\left( { - 1;1} \right)\)

\(O'\) đối xứng \(O\) qua \(\Delta \) hay \(H\) là trung điểm \(OO'\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{O'}} = 2{x_H} - {x_O} = 2.\left( { - 1} \right) - 0 =  - 2\\{y_{O'}} = 2{y_H} - {y_O} = 2.1 - 0 = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow O'\left( { - 2;2} \right)\).

LG b

Tìm điểm \(M\) trên \(Δ\) sao cho độ dài đường gấp khúc \(OMA\) ngắn nhất.

Lời giải chi tiết:

Quan sát hình vẽ ta thấy,

\(A\) và \(O\) nằm cùng phía so với \(\Delta \) hay \(A,O'\) nằm khác phía so với \(\Delta \).

Gọi \(M' = AO' \cap \Delta \) thì \(OM' = O'M'\) do \(\Delta \) là đường trung trực của \(OO'\).

Với điểm \(M\) bất kì thuộc \(\Delta \) thì \(OM + AM = O'M + AM \ge O'A\)

\( \Rightarrow {\left( {OM + MA} \right)_{\min }} = AO'\) khi \(M \equiv M'\) là giao điểm của \(AO'\) với \(\Delta \).

\(A(2; 0); O'(-2; 2)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AO'}  = \left( { - 4;2} \right)\) là VTCP của \(AO'\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AO'}}}  = \left( {2;4} \right)\) là VTPT của \(AO'\)

Mà \(AO'\) đi qua \(A\left( {2;0} \right)\) nên \(2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {y - 0} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + 4y - 4 = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\)

\(M = AO' \cap \Delta \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{2}{3}\\y = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(M\left( { - \dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}} \right)\)