Bài 3 trang 93 SGK Hình học 10

Đề bài

Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng: \({\Delta _1} : 5x + 3y – 3 = 0\) và  \({\Delta _2}: 5x + 3y + 7 = 0.\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(M(x; y)\) là một điểm bất kì trong mặt phẳng, ta có:

\(d(M,{\Delta _1}) = {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {34} }}\)

\(d(M,{\Delta _2}) = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {34} }}\)

 Điểm \(M\) cách đều hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) nên: 

\(\eqalign{
& {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {34} }} = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {34} }} \cr
& \Leftrightarrow |5x + 3y - 3| = |5x + 3y + 7| \cr} \)

Ta xét hai trường hợp:

(*) \(5x + 3y – 3 = - (5x + 3y + 7)\)\( ⇔ 5x + 3y + 2 = 0\)

(**) \(5x + 3y – 3 = 5x + 3y + 7\) (vô nghiệm)

Vậy tập hợp các điểm \(M\) cách đều hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\)  là đường thẳng  \(Δ: 5x + 3y + 2 = 0\)

Dễ thấy \(Δ\) song song với \({\Delta _1},{\Delta _2}\)  và hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\)  nằm về hai phía đối với \(Δ\).