Bài 5 trang 128 SGK Giải tích 12

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong

LG a

a) \(y =x^3\) và \(y = x^5\) bằng:

A. \(0\)             B. \(-4\)            C. \(\displaystyle{1 \over 6}\)      D. \(2\)

Phương pháp giải:

+) Hình phẳng được giới hạn bởi đường các đồ thị hàm số \(y=f(x);\) \(y=g(x)\) và các đường thẳng \(x=a; \, \, x=b \, (a<b)\) có diện tích được tính bởi công thức:  \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx.} \)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là:

\( x^5= x^3⇔ x = 0\) hoặc \(x = ±1.\)

Do đó: Diện tích hình phẳng cần tìm là:

\( \begin{array}{l}
S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} - {x^5}} \right|dx} \\
= \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^3} - {x^5}} \right|dx} + \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - {x^5}} \right|dx} 
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
 =\left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - {x^5}} \right)} dx} \right| + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^5}} \right)dx} } \right|\\
\;\; = \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{{x^6}}}{6}} \right)} \right|_{ - 1}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{{x^6}}}{6}} \right)} \right|_0^1} \right|\\
\; = \left| { - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}} \right| + \left| {\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}} \right| = \dfrac{1}{6}.
\end{array}\)

Chọn đáp án C

LG b

b) \(y = x + \sin x\) và \(y = x\) \( (0 ≤ x ≤ 2π).\)

A. \(-4\)            B. \(4\)             C. \(0\)        D. \(1\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là:

\(x + \sin x = x\) (\(0 ≠ x ≠ 2x\))

\( ⇔ \sin x = 0 ⇔ x = 0; x = π;  x = 2π\)

Do đó, diện tích hình bằng là:

\(\begin{array}{l}
S = \int\limits_0^{2\pi } {\left| {x + \sin x - x} \right|dx} \\
= \int\limits_0^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|dx} \\
= \int\limits_0^\pi {\left| {\sin x} \right|dx} + \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|dx}
\end{array}\)

\(\eqalign{
& = \left| {\int_0^\pi {\sin {\rm{x}}dx} } \right| + \left| {\int_\pi ^{2\pi } {\sin {\rm{x}}dx} } \right| \cr 
& = \left| {\left[ { - \cos x } \right]\left| {_0^\pi } \right.} \right| + \left| {\left[ { - {\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right]\left| {_\pi ^{2\pi }} \right.} \right| = 2 + 2 = 4. \cr} \)

Chọn đáp án B