Bài 4 trang 128 SGK Giải tích 12

Đề bài

Cho hai tích phân \(\int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^2}xdx,} \int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \) , hãy chỉ ra khẳng định đúng:

A. \(\int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^2}xdx}  > \int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \)

B. \(\int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^2}xdx}  < \int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \)

C. \(\int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^2}xdx}  = \int_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \)

D. Không so sánh được

Lời giải chi tiết

Nếu đặt \(\displaystyle u = {\pi  \over 2} - x\) thì \(dx=-du\) và

\(\eqalign{
& \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^2}xdx = \int_{{\pi \over 2}}^0 {{{\sin }^2}} } ({\pi \over 2} - u)( - du) \cr
& = \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos }^2}} udu = \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos }^2}} xdx \cr} \)

 Chọn đáp án C

Cách khác:

\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}xdx}  - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} \) \(= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)dx}  \) \( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos 2xdx}  \) \( = \left. {\dfrac{{\sin 2x}}{2}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}  \) \(= 0 - 0 = 0  \)

\(\Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}xdx}   \) \(= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} \)