Câu 4.50 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho \({{z + i} \over {\bar z + i}}\) là số thực.

Lời giải chi tiết

Với \(z \ne i\) thì \({{z + i} \over {\overline  z + i}}\) là số thực khi và chỉ khi \({{z + i} \over {\overline z + i}} = {{\overline  z - i} \over {\bar z - i}}\) tức là khi và chỉ khi \({z^2} = {\bar z^2}\) mà \({z^2} - {\left( {\bar z} \right)^2} = \left( {z + \bar z} \right)\left( {z - \bar z} \right) = 0\) khi và chỉ khi \(z = \bar z\) hoặc \(z =  - \bar z\).

Vậy tập hợp cần tìm là tập hợp các điểm thuộc Ox và các điểm thuộc Oy khác điểm I (biểu diễn số i).