Câu 4.49 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Giải hệ phương trình hai phức z, w sau: \(\left\{ \matrix{ {z^3} + {{\rm{w}}^5} = 0 \hfill \cr {z^2}{\left( {{\rm{\bar w}}} \right)^4} = 1 \hfill \cr}  \right.\)

Lời giải chi tiết

Xét hệ phương trình \(\left\{ \matrix{{z^3} + {{\rm{w}}^5} = 0(1) \hfill \cr{z^2}{\left( {{\rm{\bar w}}} \right)^4} = 1(2) \hfill \cr}  \right.\)  

Từ (2) suy ra \({z^6}{(\overline {\rm{w}} )^{12}} = 1\)

Từ (1) suy ra \({z^6} = {{\rm{w}}^{10}}\)

Vậy \({{\rm{w}}^{10}}{(\overline {\rm{w}} )^{12}} = 1\). Từ đó  \({\left| {\rm{w}} \right|^{22}} = 1\) tức là \(\left| {\rm{w}} \right| = 1\); suy ra \(\left| {{z^6}} \right| = {\left| {\rm{w}} \right|^{10}}=1\) tức là \(\left| z \right| = 1\)

Từ \({\rm{w}} = {1 \over {\rm{\overline w}}}\) và \({{\rm{w}}^{10}}{\left( {{\rm{\overline  w}}} \right)^{12}} = 1\) suy ra \({\left( {{\rm{\bar w}}} \right)^2} = 1\) nên w bằng 1 hoặc bằng -1.

Từ \({\left( {{\rm{\overline  w}}} \right)^2} = 1\) và (2) suy ra \({z^2} = 1\) tức z bằng 1 hoặc bằng -1.

Từ (1) suy ra hệ có hai nghiệm là (1;-1) và (-1;1).