Câu 4.34 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Biểu diễn hình học các số \(5 + i\)  và \(239 + i\) rồi chứng minh rằng nếu các số thực a, b thỏa mãn các điều kiện \(0 < a < {\pi  \over 2},0 < b < {\pi  \over 2}\) và \({\mathop{\rm tana}\nolimits}  = {1 \over 5},{\mathop{\rm tanb}\nolimits}  = {1 \over {239}}\) thì \(4a - b = {\pi  \over 4}\)

Lời giải chi tiết

Điểm M để biểu diễn số \(5 + i\), điểm N biểu diễn số \(239 + i\) thì \(\tan \left( {Ox,OM} \right) = {1 \over 5} = \tan a\), tan(\({\rm{O}}x,ON\) ) \( = {1 \over {239}} = \tan b\).

Do M, N nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ \(Oxy\), còn \(0 < a < {\pi  \over 2}\), \(0 < b < {\pi  \over 2}\) nên một acgumen của \(5 + i\) là \(a\), một acgumen của \(239 + i\) là \(b\) . Từ đó một acgumen của \({{{{\left( {5 + i} \right)}^4}} \over {239 + i}}\) là \(4a - b\). 

Ta có    \({{{{\left( {5 + i} \right)}^4}} \over {239 + i}} = {{476 + 480i} \over {239 + i}}\), mà \(\left( {239 + i} \right)\left( {1 + i} \right) = 238 + 240i\)

Nên   \({{{{\left( {5 + i} \right)}^4}} \over {239 + i}} = 2(1 + i)\)

Số    \(2(1 + i)\) có một acgumen bằng \({\pi  \over 4}\)

Vậy \(4a - b = {\pi  \over 4} + k2\pi \) \((k \in Z)\).

Dễ thấy \(0 < b < a < {\pi  \over 4}\), suy ra \(4a - b = {\pi  \over 4}\).