Câu 3.62 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Ba số \(x , y , z \), theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; đồng thời, chúng lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín của một cấp số cộng. Hãy tìm ba số đó, biết rằng tổng của chúng bằng 13.

Lời giải chi tiết

Vì dãy số \(x,y,z\) là một cấp số nhận nên \({y^2} = x.z\)

Kí hiệu \(d\) là công sai của cấp số cộng nhận các số \(x,y,z\) lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ 9, ta có \(y - x = 2d\) và \(x - y = \left( {z - x} \right) - \left( {y - x} \right) = 8d - 2d\)\( = 6d.\) Từ đó, suy ra \(z - y = 3.\left( {y - x} \right),\) hay \(z + 3x = 4y.\) Như vậy, từ các giả thiết của bài ra ta được

\(\left\{ \matrix{
{y^2} = x.z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr 
z + 3x = 4y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr 
z + y + z = 13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \hfill \cr} \right.\)

Từ (2) và (3), ta có \(x = {{5y - 13} \over 2}\) và \(z = {{39 - 7y} \over 2}.\) Thế \(x\) và \(z\) vào (1), ta được

\(4{y^2} = \left( {5y - 13} \right)\left( {39 - 7y} \right)\) hay \(3{y^2} - 22y + 39 = 0\)

Từ \(y = 3\) hoặc \(y = {{13} \over 3}\)

- Với  \(y = 3\) ta có \(x = {{5.3 - 13} \over 2} = 1\,\) và \(z = {{39 - 7.3} \over 2} = 9\)

- Với \(y = {{13} \over 3}\) ta có \(x = {{5 \times {{13} \over 3} - 13} \over 2} = {{13} \over 3}\) và \(z = {{39 - 7 \times {{13} \over 3}} \over 2} = {{13} \over 3}\)

Ngược lại, dễ thấy các số \(x = 1,y = 3,z = 9,\) cũng như các số \(x = {{13} \over 3}\),\(y = {{13} \over 3}\),\(z = {{13} \over 3}\), đều thỏa mãn các điều kiện của đề bài.