Câu 3.50 trang 93 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Một cấp số nhân có 7 số hạng với số hạng đầu và cộng bội là các số âm. Biết rằng tích của số hạng thứ ba và số hạng số hạng thứ năm bằng 5184, tích của số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 746496. Hãy tìm cấp số nhân đó.

Lời giải chi tiết

Với mỗi \(n \in \left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\},\) kí hiệu \({u_n}\) là số hạng thứ n của cấp số nhân cần tìm. Theo giả thiết ta có

               \({u_3}.{u_5} = 5184\) và  \({u_5}.{u_7} = 746496\)

Vì cấp số nhân đã cho có số hạng đầu và công bội là các số âm nên

\({u_1} < 0,{u_2} > 0,{u_3} < 0,{u_4} > 0,\)

\({u_5} < 0,{u_6} > 0,{u_7} < 0\)

Từ đó

\(\left. \matrix{
u_4^2 = 5182 \Rightarrow {u_4} = 72 \hfill \cr 
u_6^2 = 746496 \Rightarrow {u_6} = 864 \hfill \cr} \right\}\)

\(\Rightarrow u_5^2 = {u_4}.{u_6} = 72 \times 864 = 62208 \)

\(\Rightarrow {u_5} = - 144\sqrt 3 \)

Suy ra

                                \({u_7} = {{746496} \over { - 144\sqrt 3 }} =  - 1728\sqrt 3 \)

                                \({u_3} = {{5184} \over { - 144\sqrt 3 }} =  - 12\sqrt 3 \)

                                \({u_2} = {{u_3^2} \over {{u_4}}} = {{432} \over {72}} = 6\)

                                \({u_1} = {{u_2^2} \over {{u_3}}} = {{36} \over { - 12\sqrt 3 }} =  - \sqrt 3 \)

Vậy cấp số nhân cần tìm là: \( - \sqrt 3 ,6, - 12\sqrt 3 ,72, - 144\sqrt 3 ,864, - 1728\sqrt 3 \)