Câu 3.48 trang 93 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Xét dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_1} = a\) và \({u_{n + 1}} = {{12} \over {{u_n}}}\) với mọi \(n \ge 1,\) trong đó a là một số thực khác 0.

Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

Từ giả thiết \(a \ne 0\) dễ dàng suy ra \({u_n} \ne 0\) với mọi \(n \ge 1.\)

Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra tất cả các số hạng của dãy số đó có cùng một loại dấu.

Giả sử \(({u_n})\) là một cấp số nhân. Khi đó, tồn tại một hằng số \(q > 0\) sao cho

                      \({u_{n + 1}} = {u_n}.q\) với mọi \(n \ge 1\)     (1)

Từ (1) và hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra

                      \(u_n^2 = {{12} \over q}\) với mọi \(n \ge 1\)    (2)

Xét hai trường hợp sau:

- Trường hợp 1: \(a > 0.\) Khi đó, ta có \({u_n} > 0\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, từ (2) ta được

                                \({u_n} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt q }}\) với mọi \(n \ge 1.\)

Hay \(({u_n})\) là một dãy số không đổi. Do vậy, phải có \({u_2} = a\) hay \({{12} \over a} = a.\) Dẫn tới \(a = 2\sqrt 3 \)

- Trường hợp 2: \(a < 0.\) Khi đó, ta có \({u_n} < 0\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, từ (2) ta được

                                \({u_n} =  - {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt q }}\) với mọi \(n \ge 1.\)

Hay \(({u_n})\) là một dãy số không đổi. Do vậy, phải có \({u_2} = a\) hay \({{12} \over a} = a.\) Dẫn tới \(a =  - 2\sqrt 3 \)

Ngược lại:

- Với \(a = 2\sqrt 3 \) dễ dàng chứng minh được \({u_n} = 2\sqrt 3 \) với mọi \(n \ge 1.\) Do đó, dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân với công bộ \(q = 1\)

- Với \(a =  - 2\sqrt 3 \) dễ dàng chứng minh được \({u_n} =  - 2\sqrt 3 \) với mọi \(n \ge 1.\) Do đó, dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân với công bộ \(q = 1\)

Tóm lại, tất cả các giá trị a cần tìm là \(a = 2\sqrt 3 \) và \(a =  - 2\sqrt 3 \).