Câu 3.47 trang 93 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_1} = 2\) và \({u_{n + 1}} = 4{u_n} + 9\) với mọi \(n \ge 1.\)

Chứng minh rằng dãy số \(({v_n})\), xác định bởi \(({v_n}) = {u_n} + 3\) với mọi \(n \ge 1,\)

Là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

Lời giải chi tiết

Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) ta có

\({u_{n + 1}} + 3 = 4.\left( {{u_n} + 3} \right)\,\,\forall n \ge 1.\)

Từ đó, theo định nghĩa dãy số \(({v_n})\) ta được \({v_{n + 1}} = 4.{v_n}\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, \(({v_n})\) là một cấp số nhân với công bội \(q = 4\) và số hạng đầu \({v_1} = {u_1} + 3 = 2 + 3 = 5\).