Câu 3.59 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho cấp số nhân  \(({u_n})\) có \(3\sqrt 3 .{u_2} + {u_5} = 0\) và \(u_3^2 + u_6^2 = 63.\) Hãy tính tổng

 \(S = \left| {{u_1}} \right| + \left| {{u_2}} \right| + \left| {{u_3}} \right| + ... + \left| {{u_{15}}} \right|.\)

Lời giải chi tiết

Kí hiệu q là công bội của cấp số nhân đã cho. Dễ thấy, \({u_1}.q \ne 0.\) Do đó, ta có

\(\left\{ \matrix{
3\sqrt 3 .{u_2} + {u_5} = 0 \hfill \cr 
u_3^2 + u_6^2 = 63 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}.q\left( {3\sqrt 3 + {q^3}} \right) = 0 \hfill \cr 
u_1^2.{q^4}.\left( {1 + {q^6}} \right) = 63 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
q = - \sqrt 3 \hfill \cr 
\left| {{u_1}} \right| = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)\)

Vì dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân với công bội q nên dãy số \(\left( {\left| {{u_n}} \right|} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(\left| q \right|\). Vì thế, kí hiệu S là tổng cần tính, từ (I) ta được.

\(S = {1 \over 2} \times {{1 - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^{15}}} \over {1 - \sqrt 3 }}\)