Câu 3.55 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho cấp số nhân \(({u_n})\) và cho các số nguyên dương m, k với \(m < k.\) Chứng minh rằng

   \(\left| {{u_k}} \right| = \sqrt {{u_{k - m}}.{u_{k + m}}} .\)

Áp dụng. Hãy tìm một cấp số nhân với công bội âm, có 7 số hạng, số hạng thứ hai bằng 2 và tích của số hạng đầu với số hạng cuối bằng 18.

Lời giải chi tiết

Kí hiệu q là công bội của cấp số nhân \(({u_n})\). Xét hai trường hợp sau :

\( - \) Trường hợp 1 : \(q = 0.\)  Khi đó \({u_n} = 0\)  với mọi \(n \ge 2.\) Vì thế, hiển nhiên ta có điều cần chứng minh.

\( - \) Trường hợp 2 : \(q \ne 0.\) Khi đó

\(\begin{array}{l}
{u_{k - m}} = {u_1}.{q^{k - m - 1}} = \dfrac{{{u_1}.{q^{k - 1}}}}{{{q^m}}} = \dfrac{{{u_k}}}{{{q^m}}}\\
{u_{k + m}} = {u_1}.{q^{k + m - 1}} = {u_1}.{q^{k - 1}}.{q^m} \\= {u_k}.{q^m}
\end{array}\)

Từ đó suy ra \({u_{k - m}}.{u_{k + m}} = u_k^2\) hay \(\left| {{u_k}} \right| = \sqrt {{u_{k - m}}.{u_{k + m}}} \)

Áp dụng. Với mỗi \(n \in \left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\},\) kí hiệu \({u_n}\) là số hạng thứ n của cấp số nhân cấn tìm. Theo giả thiết của bài ra, ta có \({u_3} = 2\) và \({u_1}.{u_7} = 18.\)

Vì cấp số nhân cần tìm có công bội âm và \({u_3} > 0\) nên \({u_4} < 0\). Do đó, áp dụng kết quả đã chứng minh ở trên cho \(m = 3\) và \(k = 4,\) ta được

         \({u_4} =  - \sqrt {{u_1}.{u_7}}  =  - \sqrt {18}  =  - 3\sqrt 2 .\)

Suy ra \(q = {{{u_4}} \over {{u_3}}} =  - {{3\sqrt 2 } \over 2}.\) Do đó

\(\eqalign{
& {u_2} = {{{u_3}} \over q} = - {{2\sqrt 2 } \over 3},{u_1} = {{{u_2}} \over q} = {4 \over 9},\cr&{u_5} = {u_4},q = 9,{u_6} = {u_5}.q = - {{27\sqrt 2 } \over 2}, \cr 
& {u_7} = {u_6}.q = {{81} \over 2} \cr} \)

Vậy, cấp số nhân cần tìm là : \({4 \over 9}, - {{2\sqrt 2 } \over 3},2, - 3\sqrt 2 ,9, - {{27\sqrt 2 } \over 2},{{81} \over 2}.\)