Bài 1.5 trang 7 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng số T thỏa mãn \(\sin \left( {x + T} \right) = \sin x\) với mọi \(x \in R\) phải có dạng \(T = k2\pi ,\) k là một số nguyên nào đó. Từ đó suy ra số T dương nhỏ nhất thỏa mãn \(\sin \left( {x + T} \right) = \sin x\) với mọi \(x \in R\) là \(2\pi \) (tức là hàm số \(y = \sin x\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi \)).

Lời giải chi tiết

Nếu \(\sin (x + T) = \sin x\) với mọi \(x\) , thì khi \(x = {\pi  \over 2}\) ta được \(\sin \left( {{\pi  \over 2} + T} \right) = 1\) . Số \(U\) mà \(\sin U = 1\) phải có dạng \(U = {\pi  \over 2} + k2\pi ,k\) là số nguyên nào đó , nên

\({\pi  \over 2} + T = {\pi  \over 2}+k2\pi \)

Vậy \(T = k2\pi \)

Ngược lại, dễ thấy rằng với mọi số nguyên \(k\) thì \(\sin (x + k2\pi ) = \sin x\) với mọi \(x\).