Bài 1.3 trang 6 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giả sử trên khoảng J, hàm số \(y = \sin x\) và hàm số \(y = \cos x\) có dấu không đổi. Chứng minh:

LG a

Nếu trên J, hai hàm số đó cùng dấu thì hàm số này đồng biến khi và chỉ khi hàm số kia nghịch biến.

Phương pháp giải:

Kí hiệu một trong hai hàm số \(y = \sin x\) và \(y = \cos x\) là \(y = f(x)\) và hàm số kia là \(y = g(x)\). Theo giả thiết thì \(f\) và \(g\) giữ dấu không đổi trên J.

Lời giải chi tiết:

Do \({g^2} = 1 - {f^2}\), nên nếu \({f^2}\) đồng biến ( nghịch biến ) trên J thì \({g^2}\) nghịch biến; (đồng biến) trên J.

\( - \) Nếu \(f\) đồng biến trên J thì \({f^2}\) đồng biến từ đó \({g^2}\) nghịch biến; Vậy khi đó \(g > 0\) thì \(g\) nghịch biến, nếu \(g < 0\) thì \(g\) đồng biến.

\( - \)Nếu \(f\) nghịch biến trên J thì \({f^2}\)  nghịch biến từ đó \({g^2}\) đồng biến; Vậy khi đó \(g > 0\) thì \(g\) đồng biến, nếu \(g < 0\) thì \(g\) nghịch biến.

Xét tương tự trong trường hợp \(f < 0\) trên J, ta thấy các khẳng định a), của bài toán đúng.

LG b

Nếu trên J, hai hàm số đó khác dấu thì hàm số đó hoặc cùng đồng biến hoặc cùng nghịch biến.

Phương pháp giải:

Kí hiệu một trong hai hàm số \(y = \sin x\) và \(y = \cos x\) là \(y = f(x)\) và hàm số kia là \(y = g(x)\). Theo giả thiết thì \(f\) và \(g\) giữ dấu không đổi trên J.

Lời giải chi tiết:

Chứng minh tương tự câu a)