Bài 1.14 trang 9 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

LG a

Chứng minh rằng hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên mọi khoảng \(\left( {a,b} \right)\) nằm trong tập xác định \({D_1}\) của nó.

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left( {a;b} \right) \subset {D_1}\) nên không có số \({\pi  \over 2} + k\pi ,k \in Z\) thuộc \(\left( {a,b} \right).\)

Vậy có số nguyên \(l\) để \(\left( {a,b} \right) \subset \left( {{\pi  \over 2} + l\pi ;{\pi  \over 2} + \left( {l + 1} \right)\pi } \right);\)

Hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên khoảng này nên nó đồng biến trên khoảng \(\left( {a,b} \right).\)

LG b

Có phải trên bất kì khoảng nào hàm số \(y = \tan x\) đồng biến thì hàm số \(y = \cot x\) nghịch biến ?

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - {\pi  \over 2};{\pi  \over 2}} \right),\) nhưng khoảng này không nằm trong tập xác định \({D_2}\) của hàm số \(y = \cot x\) trên khoảng đó.

(Nếu cả hai hàm số \(y = \tan x\) và \(y = \cot x\) cùng xác định trên khoảng J dễ thấy \(y = \tan x\) đồng biến trên J và hàm số \(y = \cot x\) nghịch biến trên J).