Bài tập 4 trang 120 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC có AB = AC, BM và CN là hai trung tuyến.

a) Chứng minh BM = CN.

b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm của BC.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(AM = MC = {{AC} \over 2}\) (M là trung điểm của AC)

\(AN = NB = {{AB} \over 2}\) (N là trung điểm của AB)

AC = AB (gt)

Do đó: AM = MC = AN = NB.

Xét ∆ABM và ∆ACN ta có: AB = AC (gt)

\(\widehat {BAM}\) (chung)

AM = AN

Do đó ∆ABM = ∆CAN (c.g.c) => BM = CN.

b) ∆ABC có: BM và CN là hai đường trung tuyến (gt)

I là giao điểm của BM và CN (gt)

=> I là trọng tâm của ∆ABC

Mà AH đi qua I (\(H \in BC\)). Vậy AH là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Do đó H là trung điểm của BC.