Bài tập 36 trang 98 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, BD là phân giác của góc ABC (D thuộc AC).

Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, qua điểm C vẽ tia Cx vuông góc với CA và cắt tia BD tại E. Chứng minh chu vi tam giác ADB nhỏ hơn chu vi tam giác CDE.

Lời giải chi tiết

∆ABC vuông tại A. Ta có \(AB \bot AC\) tại A => AB < BC

Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = AB

Xét ∆MBD và ∆ABD có: \(\widehat {MBD} = \widehat {ABD}\) (BD là đường phân giác)

MB = AB

BD (cạnh chung)

Do đó ∆MBD = ∆ABD (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {BMD} = \widehat {BAD} = 90^\circ ,AD = MD\)

\(DM \bot BC\) tại M => DM < CD. Nên AD < CD

Mặt khác

\(AB \bot AC,EC \bot AC\)

\( \Rightarrow AB//EC \Rightarrow \widehat {CEB} = \widehat {ABD}\) (so le trong)

Ta có \(\widehat {CEB} = \widehat {MBD}( = \widehat {ABD)}\) => ∆CBE cân tại C => BC = CE

Nên AB < BC = CE

∆ABD vuông tại A => BD² = AD² + AB² (định lí Pythagore)

∆CDE vuông tại E => DE² = CD² + CE²

Mà AD < CD và AB < CE. Do đó

BD² < DE² => BD < DE

Ta có AD + AB + BD < CD + CE + DE

Vậy chu vi tam giác ADB nhỏ hơn chu vi tam giác CDE.