Bài 9 trang 114 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC \) có \(SH\) là đường cao. Chứng minh \(SA ⊥ BC\) và \(SB ⊥ AC\).

Lời giải chi tiết

Hình chóp tam giác đều nên ta có \(H\) là tâm của tam giác đều \(ABC\)

\(SH ⊥ (ABC) \Rightarrow SH ⊥ BC\)

Và \(AH ⊥ BC\) (vì \(H\) là trực tâm)

Suy ra \( BC ⊥ (SAH)\)

\(SA\subset (SAH)\Rightarrow BC ⊥ SA\).

Chứng minh tương tự, ta có:

\(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AC\).

Mà H là trực tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow BH \bot AC\)

\( \Rightarrow AC \bot \left( {SBH} \right);\,\,SB \subset \left( {SBH} \right) \) \(\Rightarrow AC \bot SB\)

Cách khác:

Sử dụng định lí ba đường vuông góc

+ Ta có: AH ⊥ BC

Mà AH là hình chiếu của SA trên (ABC)

⇒ BC ⊥ SA ( định lí ba đường vuông góc)

+ Lại có : AC ⊥ BH.

BH là hình chiếu của SB trên (ABC)

⇒ AC ⊥ SB ( định lí ba đường vuông góc)