Bài 6 trang 114 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một hình thoi cạnh \(a\) và có \(SA = SB = SC = a\). Chứng minh rằng:

a) Mặt phẳng \((ABCD)\) vuông góc với mặt phẳng \((SBD)\);

b) Tam giác \(SBD\) là tam giác vuông.

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\)

Theo tính chất của hình thoi thì \(O\) là trung điểm của \(AC,BD\)

Xét tam giác cân \(SAC\) cân tại \(S\) có \(SO\) vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường cao do đó \(SO\bot AC\)                      (1)

Mặt khác \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\bot BD\)      (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AC\bot (SBD)\)

\(AC\subset (ABCD)\Rightarrow (ABCD)\bot (SBD)\)

b) \(∆SAC = ∆BAC  (c.c.c)\)

Do đó các đường trung tuyến ứng với các đỉnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau: \(SO = BO\)

\(O\) là trung điểm của \(BD\) nên \(OB=OD\)

\( \Rightarrow SO = BO = \dfrac{1}{2}BD\)

Tam giác \(SBD\) có trung tuyển \(SO  = \dfrac{1}{2}BD\) nên vuông tại \(S\). (đpcm)

Cách khác:

Tam giác SOC vuông tại O nên theo Pi-ta-go ta có:

\(S{O^2} = S{C^2} - O{C^2} = {a^2} - O{C^2}\)

Tam giác BOC vuông tại O nên theo Pi-ta-go ta có:

\(B{O^2} = B{C^2} - O{C^2} = {a^2} - O{C^2}\)

\( \Rightarrow SO = BO = \dfrac{1}{2}BD\)

Tam giác \(SBD\) có trung tuyển \(SO  = \dfrac{1}{2}BD\) nên vuông tại \(S\). (đpcm)