Bài 8 trang 120 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện.

Lời giải chi tiết

Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\),

Ta có: \(\Delta ABC = \Delta DBC(c.c.c)\) \( \Rightarrow AN = DN\) (hai đường trung tuyến tương ứng)

\(\Rightarrow \Delta AND\) cân tại \(N\).

\(\Rightarrow\) Trung tuyến \(MN\) đồng thời là đường cao \(\Rightarrow MN\bot AD \,\,\, (1)\)

Chứng minh tương tự, \(\Delta MBC\) cân tại \(M \Rightarrow MN\bot BC \,\,\,\,\, (2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(MN\) là đường vuông góc chung của \(BC\) và \(AD\).

\( \Rightarrow d\left( {AD;BC} \right) = MN\)

Tam giác \(ABN\) vuông tại N nên:

\(AN = \sqrt {A{B^2} - B{N^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}\) \(  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(AMN\) ta có:

\(MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}}  = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over 4}}  = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)

Vậy \(d\left( {AD;BC} \right) = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).