Bài 4 trang 119 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB =  a, BC= b, CC' = c\).

a) Tính khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \((ACC'A')\).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BB'\) và \(AC'\).

Lời giải chi tiết

a) Trong \((ABCD)\) kẻ \(BH \bot AC\,\,\left( {H \in AC} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(CC'\bot (ABCD)\Rightarrow CC'\bot BH\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BH\bot (ACC'A')\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:

\(\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{B{C^2}}} \) \(= \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}}\)\( \Rightarrow BH = \dfrac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Cách khác:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AA' \bot \left( {ABCD} \right)\\
AA' \subset \left( {ACC'A'} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\\
BH \subset \left( {ABCD} \right)\\
BH \bot AC
\end{array} \right.\\
\Rightarrow BH \bot \left( {ACC'A'} \right)\\
AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
BH.AC = AB.BC\\
\Rightarrow BH = \dfrac{{AB.BC}}{{AC}} = \dfrac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}
\end{array}\)

b) Ta có: \(AC'\subset (ACC'A') // BB'\)

\(\Rightarrow d(BB', AC') =d(BB';(ACC'A')\)\(= d(B,(ACC'A'))=BH.\)

\( \Rightarrow d\left( {BB';AC'} \right) = \dfrac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)