Bài 5 trang 119 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\).

a) Chứng minh rằng \(B'D\) vuông góc với mặt phẳng \((BA'C')\).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((BA'C')\) và \((ACD')\).

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC'\) và \(CD'\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}
BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow BB' \bot A'C'\\
\left\{ \begin{array}{l}
A'C' \bot B'D'\\
A'C' \bot BB'
\end{array} \right. \Rightarrow A'C' \bot \left( {BB'D'D} \right)\\
\Rightarrow A'C' \bot B'D\\
DC \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow DC \bot BC'\\
\left\{ \begin{array}{l}
BC' \bot B'C\\
BC' \bot DC
\end{array} \right. \Rightarrow BC' \bot \left( {A'B'CD} \right)\\
\Rightarrow BC' \bot B'D\\
\left\{ \begin{array}{l}
B'D \bot A'C'\\
B'D \bot BC'
\end{array} \right. \Rightarrow B'D \bot \left( {BA'C'} \right)
\end{array}\)

Cách khác:

Ta có \(B'A' = B'B = B'C'\)

\( \Rightarrow B'\) thuộc trục của tam giác \(A'BC'\)            (1)

\(DA' = DB = DC'\) (đường chéo các hình vuông bằng nhau)

\(\Rightarrow D\) cũng thuộc trục của tam giác \(A'BC' \)    (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow B'D\) là trục của \((BA'C')\) \( \Rightarrow B'D\bot (BA'C')\). 

b) Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
BC'//AD'\\
A'C'//AC\\
BC',A'C' \subset \left( {BA'C'} \right)\\
AD',AC \subset \left( {ACD'} \right)
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {BA'C'} \right)//\left( {ACD'} \right)\)

Mà \(B'D \bot \left( {BA'C'} \right)\) nên \(B'D \bot \left( {ACD'} \right)\)

Gọi \(G = B'D \cap \left( {BA'C'} \right);\,\,H = B'D \cap \left( {ACD'} \right) \)

\(\Rightarrow d\left( {\left( {BA'C'} \right);\left( {ACD'} \right)} \right) = GH\)

Gọi O, O' lần lượt là tâm các hình vuông ABCD, A'B'C'D' ta có:

\(BO'//D'O\) nên \(O'G//D'H\), mà \(O'\) là trung điểm của \(B'D' \Rightarrow G\) là trung điểm của \(B'H\).

\( \Rightarrow GB'=GH\)  (3)

\(BO'//D'O\) nên \(OH//GB\), mà \(O\) là trung điểm của \(BD \Rightarrow H\) là trung điểm của \(DG\).

\( \Rightarrow HG=HD\)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(GB' = GH = HD \Rightarrow GH = \dfrac{1}{3}B'D\)

Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương cạnh \(a\) nên:

\(\begin{array}{l}
B'D = \sqrt {B'{B^2} + B{D^2}} \\
= \sqrt {B'{B^2} + B{A^2} + A{D^2}} \\
= \sqrt {{a^2} + {a^2} + {a^2}} \\
= a\sqrt 3
\end{array}\)

\( \Rightarrow HG = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {\left( {BA'C'} \right);\left( {ACD'} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

c) \(BC' ⊂ (BA'C')\); \(CD' ⊂ (ACD')\), mà \( \left( {BA'C'} \right)//\left( {ACD'} \right)\)

Vậy \(d(BC', CD') = d((BA'C'),(ACD'))= \dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\)