Bài 6 trang 119 SGK Hình học 11

Đề bài

Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh \(AB\) và \(CD\) của tứ diện \(ABCD\) là đường vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\) thì \(AC = BD\) và \(AD = BC\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\). Theo giả thiết \(IJ\bot AB, IJ\bot CD\).

Qua \(I\) kẻ đường thẳng \(d // CD\), lấy trên \(d\) điểm \(E, F\) sao cho \(IE = IF = \dfrac{CD}{2}\)

Ta có \(IJ \bot CD\,\, (gt) \Rightarrow IJ \bot EF\), lại có \(IJ \bot AB \,\,(gt)\)

\(\Rightarrow IJ \bot (AEBF)\).

Ta có \(CDFE\) là hình bình hành có \(IJ\) là đường trung bình

\( \Rightarrow CE // DF // IJ\) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CE \bot \left( {AEBF} \right) \Rightarrow CE \bot BE\\DF \bot \left( {AEBF} \right) \Rightarrow DF \bot AF\end{array} \right.\)

Ta có: \(\Delta AIF = \Delta BIE(c.g.c)\) suy ra: \(AF=BE\)

Xét \(∆DFA\) và \(∆CEB\) có:

  +) \(\widehat E = \widehat F( = {90^0})\) 

  +) \(AF=BE\)

  +) \(DF=CE\)

\(\Rightarrow ∆DFA=∆CEB(c.g.c) \Rightarrow AD = BC\). 

Chứng minh tương tự ta được \(BD = AC\).