Bài 7 trang 120 (Khoảng cách) SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(3a\), cạnh bên bằng \(2a\). Tính khoảng cách từ \(S\) tới mặt đáy \((ABC)\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(H\) là tâm của tam giác đều \(ABC\) ta có \(SH \bot (ABC) \)

\(\Rightarrow d(S,(ABC))=SH\)

Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\).

\(\Rightarrow BN = NC = \dfrac{{3a}}{2}\)

Tam giác ABN vuông tại N nên:

\(AN = \sqrt {A{B^2} - B{N^2}}  \) \(= \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{2}\)

H là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow AH={2 \over 3}AN = a\sqrt 3 \)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(SAH\) ta có:

\(SH = \sqrt{SA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{4a^{2}-(a\sqrt{3})^{2}}=a.\)

Vậy \(d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right) = SH = a\).