Bài 6 trang 105 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi \(ABCD\) và có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Gọi \(I\) và \(K\) là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh \(SB\) và \(SD\) sao cho \(\dfrac{SI}{SB}=\dfrac{SK}{SD}.\) Chứng minh:

a) \(BD\) vuông góc với \(SC\); 

b) \(IK\) vuông góc với mặt phẳng \((SAC)\).

Lời giải chi tiết

a) \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\bot BD\)    (1)

Theo giả thiết: \(SA\bot (ABCD)\Rightarrow SA\bot BD\)        (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BD ⊥ (SAC)\) \(\Rightarrow BD ⊥ SC\).

Cách khác:

Sử dụng định lí ba đường vuông góc:

Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow AC\) là hình chiếu của \(SC\) lên \((ABCD)\).

Mà \(BD \bot AC \Rightarrow BD \bot SC\)

b) Ta có: \(\dfrac{SI}{SB}=\dfrac{SK}{SD}\) theo định lí Ta-lét ta có \(IK//BD\)

Theo a) ta có: \(BD ⊥ (SAC) \Rightarrow IK ⊥ (SAC)\).