Bài 3 trang 104 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi \(ABCD\) và có \(SA=SB=SC=SD\).Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng \(SO\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\);

b) Đường thẳng \( AC\) vuông góc với mặt phẳng \((SBD)\) và đường thẳng \(BD\) vuông góc với mặt phẳng \(SAC\).

Lời giải chi tiết

a) \(SA=SC\) nên tam giác \(SAC\) cân tại \(S\).

\(O\) là giao của hai đường chéo hình bình hành nên \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).

Do đó \(SO\) vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác \(SAC\) hay \(SO\bot AC\)

Chứng minh tương tự ta được: \(SO\bot BD\)

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
SO \bot AC\\
SO \bot BD\\
AC,BD \subset \left( {ABCD} \right)
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

b) \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\bot BD\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
AC \bot BD\\
AC \bot SO\\
SO \cap BD = O\\
SO,BD \subset \left( {SBD} \right)
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
BD \bot AC\\
BD \bot SO\\
SO \cap AC = O\\
SO,AC \subset \left( {SAC} \right)
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)