Bài 4 trang 105 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc. Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(O\) tới mặt phẳng \((ABC)\). Chứng minh rằng:

a) H là trực tâm của tam giác \(ABC\);

b) \(\dfrac{1}{OH^{2}}=\dfrac{1}{OA^{2}}+\dfrac{1}{OB^{2}}+\dfrac{1}{OC^{2}}.\)

Lời giải chi tiết

a) \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mp \((ABC)\) nên \(OH ⊥ (ABC) \Rightarrow OH ⊥ BC\).

Mặt khác: \(OA ⊥ OB\), \(OA ⊥ OC\)

\(\Rightarrow OA ⊥ (OBC) \Rightarrow OA ⊥ BC\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot OH\\
BC \bot OA\\
OA \cap OH = O
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {OAH} \right)\)

Mà \(AH \subset \left( {OAH} \right)\) \(\Rightarrow BC  ⊥ AH\). Chứng minh tương tự ta được \(AB ⊥ CH \)

Tam giác \(ABC\) có

\(\left\{ \begin{array}{l}
AH \bot BC\\
BH \bot AC\\
AH \cap BH = H
\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

b) Trong mặt phẳng \((ABC)\) gọi \(E = AH ∩ BC\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
OH \bot \left( {ABC} \right)\\
AE \subset \left( {ABC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot AE\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot \left( {OBC} \right)\\OE \subset \left( {OBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot OE\) \( \Rightarrow \Delta OAE\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OH\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{E^2}}}\) (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông \(OAE\))

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot \left( {OAH} \right)\\OE \subset \left( {OAH} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot OE\)

Mà \(OB \bot OC\) nên \(\Delta OBC\) vuông tại \(O\) có \(OE\) là đường cao.

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{O{E^2}}} = \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\)

Vậy \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{E^2}}}\)\( = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\) (đpcm).

Nhận xét: Biểu thức này là mở rộng của công thức tính đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác vuông: \(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}} .\)